irrationnel

[invitefff6f444]

bonjour,
Je voudrais savoir comment s'y prendre pour demontrer qu'un chiffes est un irrationnel?
racine de 2 par exemple.
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[erik]

Salut,

Y'a pas de recette universelle, ça dépend du nombre.

Pour ce n'est pas dur.
Suppose que avec p et q sans facteur premier (c'est à dire que est irreductible).
Alors on a donc est pair, c'est à dire p est pair p=2u, et donc donc . Et ainsi q est pair.
On a montré que si avec irreductible alors p et q sont pair, c'est à dire que n'est pas irreductible. Il y'a contradiction et donc différent de

[invite2f4d9e53]

Bonjour,
les méthodes sont variées : montrer que racine de 2 est irrationnel ne se fait pas de la même manière que pour pi.
Pour racine de 2 la démonstration est très simple et très connue :
on raisonne par l'absurde et on suppose que racine de 2 s'écrit sous forme irréductible p/q. En élevant au carré il vient :
2=p²/q²
soit p²=2q²
On en déduit que p² est pair, donc p est pair également. p s'écrit donc p=2k
Tu as alors 4k²=2q², soit q²=2k², donc q² est pair, et donc q aussi.
Mais alors p/q n'est plus une fraction irréductible (p et q sont divisibles par 2), d'où la contradiction.

[invitead065b7f]

Salut,

pour répondre à la question plus générale "comment fait-on pour prouver su'un nmobre est irrationnel ?", je peux dire qu'e presque tout le temps, on le suppose rationnel et ensuite on en tire une contradiction. Comme l'exemple ci-dessus te le montre.

Mais par exemple pour e ou Pi, les démonstrations (enfin celle que j'ai croisé) font appel à de l'analyse (série pour e et intégrales pour Pi). Les moyens sont variés, et les démonstrations sauf quelques exceptions (comme racine de 2) sont plutôt difficile.

Par exemple ça ne fait que quelques dizaines d'années qu'on sait que est irrationnel, et pourant on le sait depuis des siècles pour


Amicalement,
Moma

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

l'irrationalité de remonte à Lambert, 1761.

Quelques compléments

Cordialement.

[Romain-des-Bois]

... et pour montrer que e est transcendant ?

[martini_bird]

... et pour montrer que e est transcendant ?

C'est le théorème d'Hermite (1873) et c'est plus délicat à démontrer.

Tu veux la démo ?

Cordialement.

[nissart7831]

... et pour montrer que e est transcendant ?

Bonsoir,

C'est Hermite qui l'a démontré en 1873 et il me semble me souvenir que ce n'est pas simple.

http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html

[EDIT] Ah, pardon, le temps que je cherche le lien web, je n'avais pas vu que martini_bird avait posté. Ca va, je dis la même chose que lui.

[Romain-des-Bois]

Non non je veux pas la démo, c'était pour faire peur aux lycéens

merci quand même