Irrationnel!

invite95753ccc · 03/10/2005, 22h02

Bonjours...

Je vien vous faire part d'un problème que j'ai du mal a résoudre, et pourtant...

Montrer que si (a,b)€Q² tel que Racine(a) et Racine(b) soient non rationnel, alors Racine(a)+Racine(b) ne l'est pas non plus...

J'ai tenté par l'absurde, mais ce qui m'aurai arrangé, sa aurai été d'avoir:

Racine(a) et Racine(b) rationnel => Racine(a)+Racine(b) rationnel car la se deviens (plutot) facile...

Car la pour l'absurde, on peut poser: supp. que Racine(a) et Racine(b) soient rationnels, et on montre que Racine(a)+Racine(b) l'est aussi... on contradiction avec le fait qu'il ne le soit pas... mais sa nous avance pas vraiment car on a prouvé que si racine(a) et racine(b) rationnel alors racine(a)+racine(b) aussi...

Et si on pose racine(a)+racine(b) rationnel, j'arrive pas a revenir a racine(a) et racine(b) rationel...

Donc je suis coincé!

Merci d'avance!

invite7c294408 · 04/10/2005, 00h51

Envoyé par Boobooboo

Bonjours...

Je vien vous faire part d'un problème que j'ai du mal a résoudre, et pourtant...

Montrer que si (a,b)€Q² tel que Racine(a) et Racine(b) soient non rationnel, alors Racine(a)+Racine(b) ne l'est pas non plus...

J'ai tenté par l'absurde, mais ce qui m'aurai arrangé, sa aurai été d'avoir:

Racine(a) et Racine(b) rationnel => Racine(a)+Racine(b) rationnel car la se deviens (plutot) facile...

Car la pour l'absurde, on peut poser: supp. que Racine(a) et Racine(b) soient rationnels, et on montre que Racine(a)+Racine(b) l'est aussi... on contradiction avec le fait qu'il ne le soit pas... mais sa nous avance pas vraiment car on a prouvé que si racine(a) et racine(b) rationnel alors racine(a)+racine(b) aussi...

Et si on pose racine(a)+racine(b) rationnel, j'arrive pas a revenir a racine(a) et racine(b) rationel...

Donc je suis coincé!

Merci d'avance!

essaie de raisonner par contraposee:
NON ( (racine a + racine b) non rationnel) implique (?)
NON ((racine a et racine b) non rationnel).
Attention: le contraire de (racine(a) et racine(b)) non rationnel
n'est pas racine(a) et racine(b) rationnel....

invite7c294408 · 04/10/2005, 07h53

[QUOTE=tommmyb]
essaie de raisonner par contraposee:

NON ( (racine a + racine b) non rationnel implique (?)
NON ((racine a et racine b) non rationnel).

Attention: la negation de (racine(a) et racine(b)) non rationnel
n'est pas racine(a) et racine(b) rationnel mais racine(a) ou racine(b) rationnel....

invité576543 · 04/10/2005, 08h00

Envoyé par Boobooboo

Bonjours...

Je vien vous faire part d'un problème que j'ai du mal a résoudre, et pourtant...

Montrer que si (a,b)€Q² tel que Racine(a) et Racine(b) soient non rationnel, alors Racine(a)+Racine(b) ne l'est pas non plus...

J'ai tenté par l'absurde, mais ce qui m'aurai arrangé, sa aurai été d'avoir:

Racine(a) et Racine(b) rationnel => Racine(a)+Racine(b) rationnel car la se deviens (plutot) facile...

Car la pour l'absurde, on peut poser: supp. que Racine(a) et Racine(b) soient rationnels, et on montre que Racine(a)+Racine(b) l'est aussi... on contradiction avec le fait qu'il ne le soit pas... mais sa nous avance pas vraiment car on a prouvé que si racine(a) et racine(b) rationnel alors racine(a)+racine(b) aussi...

Et si on pose racine(a)+racine(b) rationnel, j'arrive pas a revenir a racine(a) et racine(b) rationel...

Donc je suis coincé!

Merci d'avance!

Bonjour, j'ai un problème là! A un certain sens, la proposition est manifestement fausse. 2 et 2 sont rationnels, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont respectivement racines, et leur somme vaut 0, un rationnel.

Il faut alors comprendre l'énoncé en disant la somme des racines positives, soit $\text{[math]}$ , ce qui est une restriction intéressante (assez artificielle, et peu pédagogique pour la compréhension que la notion de racine carrée n'est pas injective, donc pas une fonction), mais qui devra nécessairement apparaître dans la démonstration.

Cordialement,

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**GuYem** · 04/10/2005, 08h23

Envoyé par mmy

Bonjour, j'ai un problème là! A un certain sens, la proposition est manifestement fausse. 2 et 2 sont rationnels, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont respectivement racines, et leur somme vaut 0, un rationnel.

Je crois que tu as mal saisi l'énoncé. Pourquoi tu as pris $\text{[math]}$ comme racine de 2 ?
Dans l'énoncé à montrer il y a bien un "+" entre les deux racines.

invite95753ccc · 04/10/2005, 10h31

Et oui, -racine(2) ne peut pas etre obtenu a partir de la racine d'un nombre a€Q...

Et pour tommy, par la négation on a bien racine(a) rationnel ou racine(b) rationnel...

Mais sa m'aide pas trop, car sa implique:
racine(a) rat. et racine(b) irrat.
ou
racine(a) irrat. et racine(b) rat.
ou
racine(a) rat. et racine(b) rat.

implique

racine(a)+racine(b) rat.

(ce qui est vrai*, donc la proposition de départ est faussee)

*car racine(a) rat. et racine(b) rat. implique bien racine(a)+racine(b) rat.

Non?

invite7c294408 · 04/10/2005, 11h23

Envoyé par Boobooboo

Et oui, -racine(2) ne peut pas etre obtenu a partir de la racine d'un nombre a€Q...

Et pour tommy, par la négation on a bien racine(a) rationnel ou racine(b) rationnel...

Mais sa m'aide pas trop, car sa implique:
racine(a) rat. et racine(b) irrat.
ou
racine(a) irrat. et racine(b) rat.
ou
racine(a) rat. et racine(b) rat.

implique

racine(a)+racine(b) rat.

(ce qui est vrai*, donc la proposition de départ est faussee)

*car racine(a) rat. et racine(b) rat. implique bien racine(a)+racine(b) rat.

Non?

Supposons Non Q: racine (a) + racine (b) est rationnel.
Posons c=racine(a)
d=racine(b)

alors il existe p,q e Q/ c+d=p/q
equivaut c^2 + 2c*d + d^2 = p^2/q^2
bon
on a alors c*d = (p^2 - q^2(c^2 + d^2))/2*q^2
le terme de droite est un rationnel.
on a alors deux possibilites: soit
c et d sont tous deux rationnels
soit les deux sont irrationnels : le cas de racine (2) par exemple

ce qui revient en negation a "c ou d" est irrationnel (donc l'autre rationnel)
et ceci a parfaitement un sens car le cas "c et d" irrationnels est en fait un cas particulier du "ou". C'est pas tres rigoureux mais ca a l'air de marcher...hummm......qu'en penses tu?

invite7c294408 · 04/10/2005, 11h33

[QUOTE=tommmyb]

justement j'ai un petit probleme:
Supposons Non Q: racine (a) + racine (b) est rationnel.
Posons c=racine(a)
d=racine(b)

alors il existe p,q e Q/ c+d=p/q
equivaut c^2 + 2c*d + d^2 = p^2/q^2
bon
on a alors c*d = (p^2 - q^2(c^2 + d^2))/2*q^2
le terme de droite est un rationnel.
on a alors deux possibilites: soit
c et d sont tous deux rationnels
soit les deux sont irrationnels : le cas de racine (2) par exemple

ce qui revient en negation de P a "c ou d" est irrationnel et la ca a parfaitement un sens.Effectivement, si on prend un rationnel et one le somme a un irrationnel on obtient encore un irrationnel.
Mias le cas "et" m' intrigue...l' inclusion du "et" dans le "ou" me semble trop dangereuse a ce moment...

invite14ea0d5b · 04/10/2005, 11h42

Envoyé par tommmyb

on a alors deux possibilites: soit
c et d sont tous deux rationnels
soit les deux sont irrationnels : le cas de racine (2) par exemple

ce qui revient en negation a "c ou d" est irrationnel (donc l'autre rationnel)
et ceci a parfaitement un sens car le cas "c et d" irrationnels est en fait un cas particulier du "ou". C'est pas tres rigoureux mais ca a l'air de marcher...hummm......qu'en penses tu?

Heu justement il faut prouver que c et d ne peuvent pas être irrationnels par l'hypothèse, donc la proposition de départ. T'es pas plus avancé... enfin je comprends rien à ce que t'as écrit en bas ("ce qui revient...")

Pour résoudre le problème, il suffit d'y aller par l'absurde et éliminer une racine.

(poser que racine(p/q) + racine(r/s) = t/u avec les racines irrationnelles; tuer une racine)

invité576543 · 04/10/2005, 11h50

Envoyé par GuYem

Je crois que tu as mal saisi l'énoncé. Pourquoi tu as pris $\text{[math]}$ comme racine de 2 ?
Dans l'énoncé à montrer il y a bien un "+" entre les deux racines.

J'ai très bien lu l'énoncé. Mais mon point semble échapper à tout le monde... On verra la démonstration!

(Le danger de la notation $\text{[math]}$ est flagrant avec les complexes (avec lesquels il faut la bannir)... Dommage qu'on ne prenne pas la mesure du danger bien avant...)

Cordialement,

invite7c294408 · 04/10/2005, 12h01

Envoyé par Korgox

Heu justement il faut prouver que c et d ne peuvent pas être irrationnels par l'hypothèse, donc la proposition de départ. T'es pas plus avancé... enfin je comprends rien à ce que t'as écrit en bas ("ce qui revient...")

Pour résoudre le problème, il suffit d'y aller par l'absurde et éliminer une racine.

(poser que racine(p/q) + racine(r/s) = t/u avec les racines irrationnelles; tuer une racine)

En fait j'essayais de raisonner par contraposee: supposer non Q et montrer non P (ou on doit montrer que P implique Q)
Seulement, en resultat J' obtiens
(c et d rationnels) ou (c et d irrationnels).

comme c'est un raisonnement en negation, je dois obtenir la negation de ce qui est ecrit ci-dessus:
c ou d rationnel et c ou d irrationnel. Ca ne m'avance peut-etre pas beaucoup mais logiquement c'est bon, non?

invite14ea0d5b · 04/10/2005, 12h27

Envoyé par tommmyb

En fait j'essayais de raisonner par contraposee: supposer non Q et montrer non P (ou on doit montrer que P implique Q)
Seulement, en resultat J' obtiens
(c et d rationnels) ou (c et d irrationnels).

Je sais, et donc ton but là c'est de montrer que c et d sont rationnels et pas les deux irrationnels. Seulement t'es pas plus avancé : la seule chose que tu peux faire maintenant c'est de montrer que si c et d sont irrationnels, alors ils ne satisfont pas l'hypothèse, ce qui est la proposition de départ. Finalement t'es pas plus avancé.

Envoyé par tommmyb

comme c'est un raisonnement en negation, je dois obtenir la negation de ce qui est ecrit ci-dessus:
c ou d rationnel et c ou d irrationnel. Ca ne m'avance peut-etre pas beaucoup mais logiquement c'est bon, non?

?

pour les paresseux je fais la démo en entier :

Soient sqrt(p/q), sqrt(r/s) irrationnels (où sqrt() est la racine carrée)

supposons que sqrt(p/q) + sqrt(r/s) = t/u (rationnel)
alors sqrt(p/q) = t/u - sqrt(r/s)
on met au carré : p/q = (t/u)^2 + r/s - 2*t/u*sqrt(r/s)
donc : sqrt(r/s) = u/2t * (-p/q + (t/u)^2 - r/s) = a/b
contradiction : sqrt(r/s) est rationnel, conclusion sqrt(p/q) + sqrt(r/s) est irrationnel

mmy> je comprends pas très bien le problème : on définit sqrt(u) comme la racine positive de x^2 - u = 0 pis c'est tout ! ça n'a plus de sens de parler de racine positive avec les complexes donc on utilise plus le symbole mais dans les réels ça à bien une signification.

invite7c294408 · 04/10/2005, 12h44

le but, c'est d'essayer. On a le droit d'avoir des idees meme si elles ne marchent pas.
C'est un forum. On est la pour discuter, non?

invité576543 · 04/10/2005, 13h15

Envoyé par Korgox

pour les paresseux je fais la démo en entier :

Soient sqrt(p/q), sqrt(r/s) irrationnels (où sqrt() est la racine carrée)

supposons que sqrt(p/q) + sqrt(r/s) = t/u (rationnel)
alors sqrt(p/q) = t/u - sqrt(r/s)
on met au carré : p/q = (t/u)^2 + r/s - 2*t/u*sqrt(r/s)
donc : sqrt(r/s) = u/2t * (-p/q + (t/u)^2 - r/s) = a/b
contradiction : sqrt(r/s) est rationnel, conclusion sqrt(p/q) + sqrt(r/s) est irrationnel

mmy> je comprends pas très bien le problème : on définit sqrt(u) comme la racine positive de x^2 - u = 0 pis c'est tout ! ça n'a plus de sens de parler de racine positive avec les complexes donc on utilise plus le symbole mais dans les réels ça à bien une signification.

Tu va comprendre! Je reprend ta démonstration en remplaçant par mes valeurs:

Soient -sqrt(2), sqrt(2) irrationnels (où sqrt() est la racine carrée)

supposons que -sqrt(2) + sqrt(2) = 0 (rationnel)
alors -sqrt(2) = 0 - sqrt(2)
on met au carré : 2 = (0)^2 + 2 - 2*0*sqrt(2)
donc : sqrt(2) = 2/0 * (-p/q + (t/u)^2 - r/s) = a/b

TILT ! Une division par 0 !!!

contradiction : sqrt(2) est rationnel, conclusion -sqrt(2) + sqrt(2) est irrationnel

Cordialement,

invité576543 · 04/10/2005, 13h23

Suite...

Je suis peut-être trop rigoriste, mais l'intitulé suivant me semble préférable: soit a et b deux nombres tels que leurs carrés soit rationnels, montrer que si a et b sont non rationnels et a+b est non nul, alors a+b est irrationnel.

Cela préserve une symétrie +/- que je suis gêné de voir disparaitre...

La démonstration est correcte pour l'intitulé ci-dessus, en rajoutant le nécessaire "puisque t n'est pas nul par hypothèse" !

Cordialement,

invite95753ccc · 04/10/2005, 19h42

Envoyé par tommmyb

le but, c'est d'essayer. On a le droit d'avoir des idees meme si elles ne marchent pas.
C'est un forum. On est la pour discuter, non?

Mais bien sur que oui, je suis bien heureux que tu réponde!

----------

Envoyé par mmy

Tu va comprendre! Je reprend ta démonstration en remplaçant par mes valeurs:

Soient -sqrt(2), sqrt(2) irrationnels (où sqrt() est la racine carrée)

supposons que -sqrt(2) + sqrt(2) = 0 (rationnel)
alors -sqrt(2) = 0 - sqrt(2)
on met au carré : 2 = (0)^2 + 2 - 2*0*sqrt(2)
donc : sqrt(2) = 2/0 * (-p/q + (t/u)^2 - r/s) = a/b

TILT ! Une division par 0 !!!

contradiction : sqrt(2) est rationnel, conclusion -sqrt(2) + sqrt(2) est irrationnel

Cordialement,

Mais tu ne peut pas avoir -sqrt(2) car tu part d'un rationnel positif (a>0) et tu prend sa racine, tu ne peu jamais obtenir qqchose de négatif! et malheuresuement, on ne peut pas changer l'intitulé lol (cf ton dernier post)

-------------------- et enfin ----------

Envoyé par Korgox

pour les paresseux je fais la démo en entier :

Soient sqrt(p/q), sqrt(r/s) irrationnels (où sqrt() est la racine carrée)

supposons que sqrt(p/q) + sqrt(r/s) = t/u (rationnel)
alors sqrt(p/q) = t/u - sqrt(r/s)
on met au carré : p/q = (t/u)^2 + r/s - 2*t/u*sqrt(r/s)
donc : sqrt(r/s) = u/2t * (-p/q + (t/u)^2 - r/s) = a/b
contradiction : sqrt(r/s) est rationnel, conclusion sqrt(p/q) + sqrt(r/s) est irrationnel

mmy> je comprends pas très bien le problème : on définit sqrt(u) comme la racine positive de x^2 - u = 0 pis c'est tout ! ça n'a plus de sens de parler de racine positive avec les complexes donc on utilise plus le symbole mais dans les réels ça à bien une signification.

Alors sa me pose un problème car:
Tu suppose que sqrt(p/q) + sqrt(r/s) est rationnel, et pas sqrt(r/s) seul. Donc tu n'arrive pas a une contradiction à la fin...

Mais y'a de l'idée... enfait, je viens d'y penser (grace a toi!)
Tu a réussi a prouvé que:
sqrt(r/s) = u/2t * (-p/q + (t/u)^2 - r/s)
donc sqrt(r/s) est rationnel, de la meme façon, sqrt(p/q) le sera aussi... d'ou sqrt(p/q) + sqrt(r/s) rationnel implique sqrt(p/q) et sqrt(r/s) rationnel (un "ou" suffirai) et par contraposition, sqrt(p/q) et sqrt(r/s) irrationnel implque sqrt(p/q) + sqrt(r/s) irrationnel
CQFD non?

invite14ea0d5b · 04/10/2005, 23h25

tommmyb> Salut, bien sûr qu'on est là pour discuter ? Je suis désolé si je t'ai paru froid ou que sais-je...

mmy> En fait je suis pas sur de la définition de racine carrée de x (x réel positif), mais il me semblait qu'on prenait la racine positive par convention ?

Envoyé par Boobooboo

Alors sa me pose un problème car:
Tu suppose que sqrt(p/q) + sqrt(r/s) est rationnel, et pas sqrt(r/s) seul. Donc tu n'arrive pas a une contradiction à la fin...

Si

Justement on considère deux rationnels p/q et r/s tels que sqrt(p/q) et sqrt(r/s) sont irrationnels. Ensuite on voit que si on suppose sqrt(p/q) + sqrt(r/s) rationnel, alors on arrive à sqrt(r/s) rationnel ce qui est en contradiction avec l'hypothèse que sqrt(r/s) est irrationnel. (et donc sqrt(p/q) + sqrt(r/s) est irrationnel)

Envoyé par Boobooboo

Mais y'a de l'idée... enfait, je viens d'y penser (grace a toi!)
Tu a réussi a prouvé que:
sqrt(r/s) = u/2t * (-p/q + (t/u)^2 - r/s)
donc sqrt(r/s) est rationnel, de la meme façon, sqrt(p/q) le sera aussi... d'ou sqrt(p/q) + sqrt(r/s) rationnel implique sqrt(p/q) et sqrt(r/s) rationnel (un "ou" suffirai) et par contraposition, sqrt(p/q) et sqrt(r/s) irrationnel implque sqrt(p/q) + sqrt(r/s) irrationnel
CQFD non?

Oui, aussi

invite95753ccc · 05/10/2005, 15h07

Ha oui! effectivement, j'avais mal compris donc...

invité576543 · 05/10/2005, 15h34

Bonjour,

J'ai mis un peu de confusion, semble-t-il, mes excuses. Je vais essayer de clarifier ce que je voulais dire.

Le premier point est que la démonstration devait nécessairement contenir une référence à la positivité de la racine. Cela m'a permis de détecter immédiatement la faute vénielle, l'oubli de la mention t différent de 0.

Le deuxième est qu'il y a une symétrie intrinsèque entre + et - dans la notion de racine carrée. La convention de se restreindre à la positive est une convention, rien d'autre, et elle brise la symétrie. Bien sûr, la fonction racine est définie comme positive.

Restaurer la symétrie +/- est néanmoins toujours possible, ce que je montrais avec l'énoncé alternatif. Mais cela oblige à ne pas utiliser de fonction et de revenir à la notion de carré.

Avoir en tête cette symétrie est très utile, cela aide dans de nombreux problèmes, permet certaines vérifications, ...

Je réagis sur ce point car de nombreux exercices (dont celui-là), intitulés ou présentations, au contraire mettent l'emphase sur une dissymétrie, et cela me semble anti-pédagogique. La plus évidente de ces transgression est de définir i comme LA racine de -1, alors que c'est UNE racine de -1, le choix étant non seulement arbitraire, mais sans conséquence...

Mes excuses encore si mes nuances subtiles ont été source de confusion...

Cordialement,

**justine&coria** · 05/10/2005, 16h55

Envoyé par mmy

Bonjour,

J'ai mis un peu de confusion, semble-t-il, mes excuses. Je vais essayer de clarifier ce que je voulais dire.

Le premier point est que la démonstration devait nécessairement contenir une référence à la positivité de la racine. Cela m'a permis de détecter immédiatement la faute vénielle, l'oubli de la mention t différent de 0.

Le deuxième est qu'il y a une symétrie intrinsèque entre + et - dans la notion de racine carrée. La convention de se restreindre à la positive est une convention, rien d'autre, et elle brise la symétrie. Bien sûr, la fonction racine est définie comme positive.

Restaurer la symétrie +/- est néanmoins toujours possible, ce que je montrais avec l'énoncé alternatif. Mais cela oblige à ne pas utiliser de fonction et de revenir à la notion de carré.

Avoir en tête cette symétrie est très utile, cela aide dans de nombreux problèmes, permet certaines vérifications, ...

Je réagis sur ce point car de nombreux exercices (dont celui-là), intitulés ou présentations, au contraire mettent l'emphase sur une dissymétrie, et cela me semble anti-pédagogique. La plus évidente de ces transgression est de définir i comme LA racine de -1, alors que c'est UNE racine de -1, le choix étant non seulement arbitraire, mais sans conséquence...

Mes excuses encore si mes nuances subtiles ont été source de confusion...

Cordialement,

Mmy, il n'y a pas de faute dans l'énoncé.
La racine carrée d'un nombre, c'est par définition le nombre positif qui élevé au carré donne ce nombre.
La Racine carrée de 9, c'est 3 et pas -3. Dire "racine positive", c'est comme dire "monter en haut", "reculer en arrière".
Et en Français, quand on parle de "racine", il est question de "racine carrée" !! Pas de racine deuxième (de nombre complexes). En effet, pour être rigoureux, il ne faut pas confondre la racine carrée avec la racine deuxième qui est dans le cadre plus général des racines n-ième de nombre complexe.

Par contre, ta remarque concernant le nombre imaginaire "i" est assez pertinente et marrante !!

(Je voudrais juste te faire remarquer au passage, qu'on ne parle pas de racine carrée d'un nombre négatif ! -1 n'a pas de racine carrée. "i" n'est pas la racine carrée de "-1")
Mais, il est vrai qu'au lycée, on introduit "i" comme étant LE nombre qui élevé au carré donne 1 !! et j'y ai jamais fait attention.
C'est assez cocasse en fait !

invité576543 · 05/10/2005, 18h06

Envoyé par justine&coria

(Je voudrais juste te faire remarquer au passage, qu'on ne parle pas de racine carrée d'un nombre négatif ! -1 n'a pas de racine carrée. "i" n'est pas la racine carrée de "-1")

Je veux bien rentrer dans la polémique: si j'accepte la remarque, alors on ne peut pas parler de la racine carrée de 2, car 2 n'a pas de racine carrée (contrairement à 4, 9 ou 441). $\text{[math]}$ n'est pas une racine carrée de 2.

Soit les deux remarques sont valides, soit aucune...

Cordialement,

**justine&coria** · 05/10/2005, 18h54

Envoyé par mmy

Je veux bien rentrer dans la polémique: si j'accepte la remarque, alors on ne peut pas parler de la racine carrée de 2, car 2 n'a pas de racine carrée (contrairement à 4, 9 ou 441). $\text{[math]}$ n'est pas une racine carrée de 2.

Soit les deux remarques sont valides, soit aucune...

Cordialement,

Euh, je comprends pas ta remarque.
On travaille dans lR, et il existe (du fait de la continuité de la fonction carrée) un réel positif qu'on note $\text{[math]}$ , qui élevé au carré, donne 2.

invité576543 · 05/10/2005, 19h28

Envoyé par justine&coria

Euh, je comprends pas ta remarque.
On travaille dans lR, et il existe (du fait de la continuité de la fonction carrée) un réel positif qu'on note $\text{[math]}$ , qui élevé au carré, donne 2.

Et oui, il faut préciser l'ensemble. Pourquoi $\text{[math]}$ ? Pourquoi pas $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ?

-1 a une racine dans $\text{[math]}$ mais pas dans $\text{[math]}$ ; i est une racine de -1

2 a une racine dans $\text{[math]}$ mais pas dans $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ est une racine de 2

Il n'y a aucune différence logique entre les deux assertions, il n'y a pas de raisons d'accepter l'une et pas l'autre. Tout choix d'un ensemble particulier pour être les "vrais nombres" est arbitraire. $\text{[math]}$ fait aussi bien l'affaire qu'un autre.

Cordialement,

**justine&coria** · 06/10/2005, 11h36

Envoyé par mmy

Et oui, il faut préciser l'ensemble. Pourquoi $\text{[math]}$ ? Pourquoi pas $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ?

-1 a une racine dans $\text{[math]}$ mais pas dans $\text{[math]}$ ; i est une racine de -1

2 a une racine dans $\text{[math]}$ mais pas dans $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ est une racine de 2

Il n'y a aucune différence logique entre les deux assertions, il n'y a pas de raisons d'accepter l'une et pas l'autre. Tout choix d'un ensemble particulier pour être les "vrais nombres" est arbitraire. $\text{[math]}$ fait aussi bien l'affaire qu'un autre.

Cordialement,

Bon, je vais encore enfoncer des portes ouvertes, mais quand on parle de racine sans rien dire, on parle de "racine carrée". Il est implicitement question de la fonction réelle racine carrée.

Et comme je l'ai dit avant, i est une racine deuxième de -1. Ce n'est pas une/la racine carrée de -1 qui n'existe pas. Je me répète mais quand on parle de racine, c'est de "racine carrée" dont il est question, pas de de racine deuxième, ou de racine cubique etc.
On ne parle pas de racine carrée dans $\text{[math]}$ , tout comme on ne parle pas de cosinus dans $\text{[math]}$ (enfin pas à ma connaissance).
D'ailleurs, il est formellement interdit d'écrire "i = $\text{[math]}$ , simplement pour les raisons que j'ai évoquées précédemment.

invité576543 · 06/10/2005, 12h31

Envoyé par justine&coria

Bon, je vais encore enfoncer des portes ouvertes, mais quand on parle de racine sans rien dire, on parle de "racine carrée". Il est implicitement question de la fonction réelle racine carrée.

Ce n'est pas une porte ouverte, c'est juste une discussion sur des conventions. On peut discuter de convention pendant des heures, c'est stérile, chacun a le droit d'adopter et de défendre la convention qu'il veut. Je n'ai aucune difficulté à m'adapter à des conventions quand c'est nécessaire pour un dialogue qui m'intéresse. Dans des fils où vous interveindrez, je ferai attention à écrire "racine de l'équation x²=...", pas de problème. Ca ne changera rien au fond de mon discours, mais cela permettra peut-être qu'il soit compris.

Cordialement,

invite3debb4bd · 16/04/2006, 04h13

Montrer que si (a,b)€Q² tel que Racine(a) et Racine(b) soient non rationnel, alors Racine(a)+Racine(b) ne l'est pas non plus...

Je vais exposer ma preuve pour (a,b)€N. jespere que ce sera utile......

Lemme:

xⁿ+c1*x^n-1+...+cn=0

avec c1,c2,...cn des entiers, ne possede aucune solution rattionel non entiere.

Preuve:

si x=a/b,avec a et b premiers entre eux, alors :

aⁿ+c1*a^n-1*b¹+...+cn=0

comme que b divise 0 et se retrouve dans touts les termes de gauche a l'exception de aⁿ, alors b divise aⁿ. Donc a et b ne sont pas premiers entre eux. Contradiction, et donc x ne peut etre rattionnel, a lexception de b=1.

QED

------------------------

si (a,b)€Q² tel que Racine(a) et Racine(b) soient non rationnel, alors Racine(a)+Racine(b) est non rationnel.

Preuve:

Soit x = Racine (a)+Racine(b). Alors:

(x-Racine(b))²=a
x²-2*Racine(b)*x+b=a
x²+(b-a)=2*Racine(b)x
(x²+(b-a))²=4b*x²
x⁴+2(b-a)x²+(b-a)²=4b*x²
x⁴-2(b+a)x²+(b-a)²=0

Puisuqe x n'est pas un entier et que ce polynome possede des coefficients entiers, alors x = Racine (a)+Racine(b) est irrationel.

QED

invite636fa06b · 16/04/2006, 08h54

Bonjour,
Pourquoi faire simple quand on peut compliquer...?
la démonstration par l'absurde marche bien et ne fait appel qu'à des notions "collège" :
Racine (a) et racine (b) sont irrationnels, a et b rationnels
Posons $\text{[math]}$
On peut exprimer a en fonction de b et p : $\text{[math]}$
En mettant au carré, on développe et on sort racine(b) :
$\text{[math]}$
Si p est rationnel, alors racine(b) l'est aussi, ce qui est contraditoire avec l'énoncé, CQFD

invite636fa06b · 16/04/2006, 09h08

Je viens de voir que ce raisonnement a été plus ou moins évoqué plusieurs fois dans le fil qui mériterait une palme dans son genre

Mon post n'apporte pas grand chose, si ce n'est un peu de simplicité.

**GuYem** · 17/04/2006, 14h25

La preuve de Razziol me plait bien(bienvenue sur le forum au passage

). De plus, si tu regardes bien Zinia, ce n'est VRAIMENT pas loin d'être la même preuve que la tienne

invite636fa06b · 17/04/2006, 20h25

Bonsoir et bienvenue à Razziol également

Oui, les preuves ne sont pas très différentes mais celle de Razziol m'a semblé un peu compliquée, ce qui présente toujours un risque de se prendre les pieds dans le tapis

En effet, elle repose sur l'affirmation que racine(a)+racine(b) n'est pas entier. C'est vrai si et seulement si on admet ce que l'on cherche à prouver

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