[Équations polynomiales] Des complexes aux quaternions...

[Aenonis]

Bonjour,

Je travaille actuellement sur un programme informatique qui travaille sur les complexes.

Ce programme résout, entre autres, des équations polynomiales à coefficients complexes jusqu'au degré maximal, à savoir le degré 4.

A savoir, j'utilise la méthode de Cardan pour le degré 3 (qui appelle une fois le degré 2) et la méthode de Descartes pour le degré 4 (qui appelle une fois le degré 3 et deux fois le degré 2).

Est-ce possible de généraliser ces méthodes aux quaternions?

J'ai lu que les quaternions ne sont pas commutatifs (donc que ) donc je doute que les méthodes de résolution soient applicables à ceux-ci...

Donc, si des matheux pouvaient me dire si c'est généralisable, j'en serait reconnaissant.

En vous remerciant d'avance,

Aenonis
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[Médiat]

Bonjour,

Pourquoi "matheux" et non "mathématicien" ?

(Journaleux est une version dépréciative de journaliste, par exemple)

[Médiat]

Je réponds malgré tout :

1) Qu'appelez-vous polynôme dans un corps non commutatif ? Est-ce que (x²)x est égal à x(x²), ou est-ce que q(x²) = x(qx) ?
2) Quelles sont les racines, dans IH, de X² + 1 = 0, polynôme parfaitement défini, même dans IH (prenez-votre temps, il y en a une infinité).

[Aenonis]

Bonjour,

En fait, j'utilise le mot "matheux" pour désigner les mathématiciens dans leur globalité sans aucune connotation négative, j'étais (enfin, je le suis toujours) un matheux. Pour moi, un matheux, c'est quelqu'un qui a la compréhension facile des problèmes mathématiques...

Sinon, pour te répondre:

1) "Polynôme dans un corps non commutatif", effectivement, je ne sais pas en fait. Je n'ai jamais utilisé, lors de mes études, des corps non commutatifs. Donc, je ne sais pas comment les utiliser.

2) Qu'est-ce IH? Pour le polynôme concerné, dans , , , je pense qu'il n'y a que trois solutions (enfin, si je ne m'abuse): , et , les trois parties imaginaires des quaternions et évidemment les solutions , et mais ce ne sont pas des quaternions proprement constitués (de la forme avec ).

Mais si une équation du deuxième degré a plus de solutions que son degré, cela veut dire qu'il va falloir revoir tous les algorithmes de résolutions, et donc que les méthodes utilisées ne sont pas applicables.

Pour moi, en admettant qu'une solution double, triple, quadruple, compte 2, 3, 4 fois, les équations polynomiales ont comme nombre de solutions exactement leur degré (enfin dans les nombres complexes ).

Amicalement,

Aenonis

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

2) Qu'est-ce IH? Pour le polynôme concerné, dans , , , je pense qu'il n'y a que trois solutions

IH est l'ensemble des quaternions.

, a bien une infinité de solutions : la sphère de rayon 1 dans IR³ (avec vos notations : b² + c² + d² = 1).

[Aenonis]

Merci pour la sphère...

Effectivement, c'est infini, je ne saurai pas démontrer que la sphère est bien solution de l'équation concernée mais en essayant diverses valeurs de , , satisfaisant , on devrait tomber sur l'équation en question.

Mais quand j'ai dit qu'il n'y avait que 3 solutions possibles, et que tu m'avais dit qu'il en existait une infinité, je pensais bien qu'il en existait une infinité triple mais je ne savais pas comment les obtenir.

Tiens, juste pour rigoler, je vais essayer de trouver une solution et l'injecter dans l'équation.

Déjà, par définition .
Prenons le point de la sphère tout simple
, on va prendre positif => , on va tous les prendre positif => et

On a donc le nombre hamiltonien suivant: , si ce que tu me dis est vrai, ce nombre affreux devrait être racine de .

Calculons donc (je risque de me pendre au cours du calcul ), qui devrait être égal à pour satisfaire l'équation.



















WaW, je ne voulais pas mettre ta parole en doute mais j'aime bien vérifier. Tu as raison, il en existe une infinité, donc pour mon programme, c'est rapé.

À moins de définir informatiquement une sphère.

Mais, si je défini une sphère, est-ce que l'équation avec aura toujours comme solution une sphère ou la sphère était un cas particulier?

Merci,

Aenonis

[Médiat]

Soit , alors

revient à c'est à dire et , soit 2 solutions.


revient à c'est à dire et , soit une infinité de solutions (la sphère).

[Aenonis]

Ah oui, comme ça, dieu que les nombres hamiltoniens sont compliqués pour un "novice" comme moi.

Sinon, tu ne m'as pas répondu pour le cas général de l'équation du second degré, je pense que la sphère est un cas particulier après avoir vu ta méthode de résolution.

Au plaisir,

Aenonis

[Médiat]

Vous pourriez, dans un premier temps , essayer de résoudre , comme vous le disiez plus haut :

j'aime bien vérifier

[Aenonis]

Ok, je me lance,

L'équation que tu me demandes de résoudre est:


Tu as défini comme suit:

Je définis comme suit:


Pour que deux quaternions soient égaux, il "suffit" que les quatre parties soient égales deux à deux, ce qui nous donne le système d'équations suivant:

Le système étant à équations et à inconnues, on peut déjà dire qu'il existe un sous-ensemble de solutions simplement infini (le degré de l'infini étant calculé par ), donc que l'équation admet forcément un ensemble de solution infini et n'a pas de solutions finies.

Résolvons ce système:




Isolons dans la première équation:
, je multiplie le tout par , mais avant de multiplier, on peut remarquer une condition d'existence pour que cette multiplication ait un sens: il faut que soit différent de , revenons au premier système d'équations en posant :

Ce système résolu veut dire qu'on a comme premier ensemble simplement infini de solutions: , c'est-à-dire que si , alors on a la sphère de rayon , mais ce qui m'étonne, c'est qu'il y a aussi des conditions sur , je suppose que si et que soit ou ou , l'équation de départ n'a pas de solutions, mais je ne suis pas sûr.

Revenons à la multiplication:


C'est une équation bicarrée en .
Posons

On résout l'équation dans :

On voit que , donc, on peut exprimer une solution générale sur

On dépose :



Et là, je suis paumé, je ne sais pas quoi en fait de cette expression affreuse... Je ne sais pas où la réinjecter pour pouvoir continuer.

J'ai tout de même trouvé la sphère de rayon quand .

Si tu pouvais m'aider à continuer sur la bonne voie ou bien rebrousser chemin si j'ai fait des choses inutiles...

En te remerciant d'avance,

Aenonis

[Médiat]

L'équation que tu me demandes de résoudre est:

Je ne vous demande rien, c'est vous qui avez des questions.

Tu as défini comme suit:

Je ne l'ai pas défini, je l'ai calculé.

Pour que deux quaternions soient égaux, il "suffit" que les quatre parties soient égales deux à deux, ce qui nous donne le système d'équations suivant:

Il faut et il suffit :

[Aenonis]

Il faut et il suffit :

Heu, ..., ..., ne me dites pas que ..., je rêve là... j'ai OUBLIÉ les facteurs ...
Tout ce qui suit est donc faux.

Allez, on reprend son courage à deux mains et on recommence:







(multiplication et tout le tintouin)
En refaisant les calculs, l'oubli des facteurs n'entre pas en compte, on a donc toujours notre sphère de rayon .
Multiplication par :


On pose






On dépose



La valeur de est nettement plus jolie que la précédente (trouvée avec l'oubli des facteurs ) mais toujours aussi peu modulable (la double racine carrée me pose problème).

En réfléchissant un peu, je pourrais injecter dans cette valeur les valeurs de , et , mais tout compte fait, ça ne servirait à rien, si ce n'est qu'alourdir encore l'expression.

Je suis toujours coincé au même endroit.

En te remerciant d'avance,

Aenonis

PS: je remarque que tu gères à fond les maths, tu es prof de maths en fait ?

[Médiat]

Vous n'avez pas distingué les cas a = 0 et a != 0.
Vous n'avez pas vérifié le signe des expressions réelles dont vous prenez la racine.

La difficulté va commencez quand vous allez devoir définir la forme générale d'un "polynôme" du 2nd degré :

a(X^2) + XbX + (X^2)c +dX +Xe + f = 0, où a, b, c, d, e, f sont des quaternions

[Médiat]

PS: je remarque que tu gères à fond les maths, tu es prof de maths en fait ?

Je ne le suis plus depuis 25 ans

[Aenonis]

Je ne le suis plus depuis 25 ans

, waw, tu as arrêté ta carrière à 37 ans, enfin, ta carrière de professeur de maths en tout cas mais je suppose qu'après tu as fait quelque chose en relation avec les maths, vu que 25 ans après, tu gères tout aussi bien.

[Aenonis]

Vous n'avez pas distingué les cas a = 0 et a != 0.
Vous n'avez pas vérifié le signe des expressions réelles dont vous prenez la racine.

Ouch. Je vais faire ça demain, j'en peux plus là, "Veel is te veel." comme on dit à Bruxelles.

La difficulté va commencez quand vous allez devoir définir la forme générale d'un "polynôme" du 2nd degré :

a(X^2) + XbX + (X^2)c +dX +Xe + f = 0, où a, b, c, d, e, f sont des quaternions

Ah oui, j'avais "oublié" que les quaternions n'étaient pas commutatifs, donc faut tripler le A (aXX, Xa'X, XXa'') et doubler le B (bX, Xb'), je pensais que faire simplement aX^2+bX+c=0 suffisait mais il est vrai que j'avais oublié des cas.

En te remerciant, pour l'équation , je continuerai demain, je deviens fou.

À demain donc,

Aenonis