Problème avec un exercice de loi de composition.

[invitead4fcffa]

Coucou tout le monde, bon voila je me prépare pour les partiels mais j'ai quelques problèmes avec les lois de composition. Je vous serais très reconnaissante si vous acceptez de m'aider à résoudre cet exercice ^^
1. Soit x et y des nombres réels différents de 1. Montrer que x + y − xy
est différent de 1 (indication : 1 − x − y + xy = (1 − x)(1 − y)).
2. Pour tous nombres x, y ∈ R−{1}, posons x∗y = x+y−xy. Montrer que
l’ensemble R − {1}, muni de l’opération ∗, est un groupe commutatif.
3. Soit f : R−{0} → R−{1} l’application définie par f(x) = 1−(1/x).
On munit l’ensemble R− {0} de la multiplication et l’ensemble R− {1}
de l’opération ∗. Montrer que f est un isomorphisme
pour la premiere question j'ai fait :

1)Supposons que x+y-xy=1 <=> 1-x-y+xy=0 <=> (1-x)(1-y)=0 ce qui est impossible car x=/=1 et y=/=1 donc x+y-xy=/=1

2)J'ai voulu d'abord démontré que c'est un groupe donc associatif , ça j'ai réussi j'ai montré que z*(x*y)=(z*x)*y
pour l'elt neutre j'y suis pas arrivé! il faut montrer que x*e=e*x=x
x*e=x+e-xe (mais comment démontrer que c'est égale à x ? a t-on le droit de dire que e c'est zéro ? même si on ne sait pas si la loi est multiplicative ou additive ?) jtrouve la même chose pour e*x !

Pour le symétrique aussi ça me pose problème! Il faut montrer que tout elt de G possede un symétrique pour la loi* cad: x*(-x)=(-x)*x=e
x*(-x)=x-x-(x(-x)=x² Meme chose pr (-x)*x! Je ne comprend pas pk je ne trouve pas e (l'elt neutre)


La dernière question ne me dit absolument rien!

J'attend avec impatience vos réponses j'ai besoin d'aide , Merci d'avance!
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[Médiat]

2)J'ai voulu d'abord démontré que c'est un groupe donc associatif , ça j'ai réussi j'ai montré que z*(x*y)=(z*x)*y
pour l'elt neutre j'y suis pas arrivé! il faut montrer que x*e=e*x=x
x*e=x+e-xe (mais comment démontrer que c'est égale à x ? a t-on le droit de dire que e c'est zéro ? même si on ne sait pas si la loi est multiplicative ou additive ?) jtrouve la même chose pour e*x !

Est-ce que 0 marche ou non ?

Se demander si la loi est multiplicative ou additive n'a pas de sens, ici elle est "asterixive".

Pour le symétrique aussi ça me pose problème! Il faut montrer que tout elt de G possede un symétrique pour la loi* cad: x*(-x)=(-x)*x=e
x*(-x)=x-x-(x(-x)=x² Meme chose pr (-x)*x! Je ne comprend pas pk je ne trouve pas e (l'elt neutre)

Pourquoi voulez-vous que le symétrique de x soit -x ? Ce qui poserait un énorme problème pous x = -1 !

Vous devez résoudre x*x' = 0 (qui est bien l'élément neutre), c'est à dire x + x' - xx' = 0 où l'inconnu est x' et x un paramètre.

Vous devriez commencer par la commutativité.

La dernière question ne me dit absolument rien!

Savez-vous ce qu'est un isommorphisme dans ce contexte ?

[invitead4fcffa]

Comment avez-su que l'elt neutre c'est 0 et pas 1 ? ça me pose tt le temps problème :/
0+x+0x=x ça marche!
un isomorphisme c'est un morphisme bijective! un morphisme c'est quand chaque loi interne dans E renvoie à la meme loi dans F c'est à dire f(a*b)=f(a)*f(b)!

[invitead4fcffa]

Et on a pas besoin de démontrer x+x'-xx'=0 ? il suffit juste de le mettre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitead4fcffa]

Donc dans ce contexte il faut montrer que f(x*y)=f(x)*f(y) donc j'ai calculé f(x*y) et f(x)*f(y) y a quelques jrs et je me rappel que je n'ai pas trouvé la même chose :/

[Médiat]

Comment avez-su que l'elt neutre c'est 0 et pas 1 ?

Je ne le savais pas, mais :

0+x+0x=x ça marche!

Ce qui assure la démonstration.

un isomorphisme c'est un morphisme bijective! un morphisme c'est quand chaque loi interne dans E renvoie à la meme loi dans F c'est à dire f(a*b)=f(a)*f(b)!

Non, les lois dans E et F n'ont aucune raison d'être identiques.

Et on a pas besoin de démontrer x+x'-xx'=0 ? il suffit juste de le mettre ?

Vous devez démontrer que pour tous les x, il existe un x' vérifiant x+x'-xx'=0, c'est à dire résoudre cette équation en calculant x' en fonction de x.

Donc dans ce contexte il faut montrer que f(x*y)=f(x)*f(y) donc j'ai calculé f(x*y) et f(x)*f(y) y a quelques jrs et je me rappel que je n'ai pas trouvé la même chose :/

Non, dans F l'opération c'est la multiplication et non *.

[gg0]

Comment avez-su que l'elt neutre c'est 0

On veut x+y+xy=x quand y est l'élément neutre. Ce n'est pas difficile d'imaginer un y qui fonctionne !!! On a le droit d'être intelligent, en maths, c'est même impértif !!

Cordialement.

[invitead4fcffa]

Je suis d'accord c'est impératif d'être intelligent c'est ce que je dis toujours, mais les lois de composition c'est nouveau pour moi donc je suis larguée un peu!

[invitead4fcffa]

f(xXy)=f(x)*f(y)
f(xXy)=1-(1/xy)
f(x)*f(y)=(1-1/x)*(1-1/y)=1-(1/x)+1-(1+y)-(1-(1/y)-(1/x+1/xy)=1-1/xy
Donc c'est morphisme.
Montrons que c'est bijectif cad:
pour tout Z appartenant a R−{1}, il existe ! x tq f(x)=Z
et je ne sais pas comment démontrer cela! :/ faut-il ecrire x en fonction de Z ? cad
z=1-1/x => x=1/(1-Z) ???
Merci de vos réponses

[Médiat]

pour tout Z appartenant a R−{1}, il existe ! x tq f(x)=Z
et je ne sais pas comment démontrer cela! :/ faut-il ecrire x en fonction de Z ? cad
z=1-1/x => x=1/(1-Z) ???
Merci de vos réponses

C'est correct