Applications (maths sup)

[Baliethecat]

Bonjour, je bloque sur une question.

On a E un ensemble. on suppose que g o f est injective sur E et que f o g est surjective de E sur E.
J'ai montré que f est bijective de E sur E
maintenant je dois en déduire que g est aussi bijective de E sur E et c'est la que je bloque

Quelqu'un pourrait-il m'indiquer une piste ?

Merci d'avance.
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[toothpick-charlie]

puisque f est bijective, il existe une application h telle que hf=fh=1 (je note la composition comme un produit, et 1 est l'identité). Alors tu as que g=g(fh)=(gf)h est la composée de deux applications injectives et est donc injective.

[Baliethecat]

Merci beaucoup ! et pour la surjectivité ?

[PlaneteF]

Merci beaucoup ! et pour la surjectivité ?

Bonsoir,

Ben c'est exactement la même idée que pour la démonstration de l'injectivité donnée par toothpick-charlie, ... tu utilises le fait que la composée de 2 surjections est une surjection, et tu ré-écris , non pas en faisant apparaître comme dans l'injectivité, mais en faisant apparaître ici (qui elle est surjective).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Baliethecat]

Ok merci beaucoup pour ces réponses !