Bonjour à tous,
Voilà je n'ai pas compris le principe de calcul de la base duale.
Voici le sujet de mon exercice:
Soit R4[X] muni de (1, X-1, X(X-1), X(X-1)(X-2), X(X-1)(X-2)(X-3))
1) Calculer la base duale.
2) Trouver les coordonnées d'un ϕ particulier dans la base duale
Si une âme charitable pourrait m'aider.
Merci d'avance
Bonsoir,
OK, vous n'avez pas compris la méthode de calcul. Mais avez-vous compris ce qu'est la base duale ? Pouvez-vous expliquez, avec vos propres mots, ce qu'est la base duale ? À partir de cela, on pourra vous guider pour vous aidez à comprendre le principe du calcul...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Pour moi c'est un ensemble de formes linéaires
Oui, mais c'est aussi une base, cela engendre toutes les formes linéaires possibles.Envoyé par devilreturn
Maintenant, qu'est-ce qui caractérise la base duale par rapport à toutes les bases possibles ?
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
On sait que e*1(e1) = 1 et e*1(e2)=e*1(e3)=...= 0
Donc e*i(ei)=1 et e*i(ej)=0 si j different de i
Désolé pour la mise en forme
Yapuka appliquer cela au cas demandé.
L'élément de la base duale correspondant à "1", c'est donc la forme qui donne 1 quand appliquée au polynôme 1, et 0 quand appliquée aux autres polynômes de la base donnée. Sachant que pour un réel x, P[X] -> P(x) est une forme linéaire sur l'espace en question, la valeur de cet élément "se voit".
Pour les autres c'est un peu plus laborieux...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Donc e*1 = 1 puisque cela annule tout les autres polynômes ?
Et pour trouver les autres on procède comment ?
Non, pas "1". C'est la forme P --> P(1), qui effectivement annule les quatre autres polynômes.
Je vous laisse réfléchir à la deuxième forme de la base duale...
[Juste un point : je ne connais pas le cours correspondant à cet exercice, et donc pas comment doit être présentée la base duale. Perso dans un tel cas j'exprime une forme comme une combinaison linéaire de P(x) avec des x bien choisis. Mais il y a une autre possibilité, qui est d'exprimer les éléments de la base duale dans la base duale de (1, X, X², X^3, X^4).]
Dernière modification par Amanuensis ; 10/01/2013 à 17h51.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Je ne vois pas trop...
En fait on a P = a + b(X-1) + cX(X-1)+ dX(X-1)(X-2) + gX(X-1)(X-2)(X-3)
et e*2(P) = b c'est bien ça ?
Oui, c'est une conséquence de ce que vous avez indiqué message #5. Mais je ne pense pas que ce soit la réponse attendue, que ce soit pour la question 1 ou la question 2.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Mais je ne vois pas comment trouver concrètement les différents e*
Est-ce clair pour vous que e*_1 est la forme qui à P associe P(1) ?
Pour e*_2 : que valent P(1) et P(0) pour les cinq polynômes ?
[En réitérant l'avertissement que je ne suis pas sûr que ce soit, parmi les différentes méthodes possibles, celle attendue par votre professeur. ]
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Pour e*_1 j'ai compris que c'était p(1).
Pour e*_2 : P(0) vaut dans l'ordre : 1, -1, 0, 0, 0 et P(1) vaut dans l'ordre : 1, 0, 0, 0, 0
Mais je ne comprends pas pourquoi on fait ça ?
L'idée est construire une forme ayant les propriétés désirées à partir des formes P -> P(0) et P -> P(1).
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
D'accord donc e*_2 = P(1) - P(0) ?
Si e*_2 est juste est-ce que e*_3 = 1/2 P(0) + 1/2 P(2) - P(1) ?
Oui. Je pense que vous avez compris le principe, et pouvez vérifier par vous-mêmes pour la suite...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Merci pour votre aide c'est plus clair maintenant
Pour mettre un peu de rigueur, la méthode que j'ai montrée consiste à utiliser comme base du dual (de l'espace des formes linéaires) la base (P->P(0), P->P(1), P->P(2), P->P(3), P->P(4)) pour exprimer la base duale. Le choix est ad hoc, guidé par les formules des polynômes (racines en commun...), et vise à un calcul "à la main". Ce n'est qu'un cas particulier de résolution des équations exprimées dans le message 5.
Encore une fois, ce n'est pas nécessairement ce qu'attend votre professeur, et je vous recommanderais de juger par vous-même en comparant au cours...
Dernière modification par Amanuensis ; 10/01/2013 à 20h23.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Oui je comprend mais cet exercice ne sera pas corrigé donc je ne pourrai pas comparer.
Néanmoins j'ai fini les calculs. Au cas ou ça intéresserait quelqu'un j'ai trouvé :
e*_4 = 1/6 P(3) -1/2 P(2) + 1/2 P(1) -1/6 P(0)
e*_5 = 1/24 P(4) -1/6 P(3) +1/4 P(2) -1/6 P(1) + 1/24 P(0)
Merci encore
