Bonjour, je n'ai pas de problème particulier, je suis juste curieux sur un truc. J'ai un mal de fou à intégrer qu'on puisse passer de la notation complexe à l'exponentielle. D'où la fonction y=exp(ix) elle est 2pi periodique nom de diou????
Quelqu'un connaîtrait-il une démonstration, une explication que je puisse comprendre? (Je suis en L3 physique)
salut, la fonction y est aussi une notation complexe mais à ne pas confondre avec l'exponentielle réelle, c'est une manière abrégée d'écrire le nombre complexe considéré, en effet la forme trigonométrique peut être associéé à l'expo.
Dérivé (cosx+isinx)/expix=1 et exp(0)=1 d'où exp(ix)=cosx+isinx, on retrouve des propriétées communes entres les 2 formes.
Je suis pas satisfait par ta démo car tu admets de base que (cos(x)+isin(x))/exp(ix)=1. Tu dis en gros:
c'est vrai parce que c'est vrai. Alors que je veux justement comprendre le lien entre l'exponentielle
complexe et les fonctions trigonométriques.
D'où provient l'égalité 2cos(x)= exp(ix)+exp(-ix) tu trouves pas ça bizarre?
Bonjour.
cette relation découverte primitivement par Euler au dix-septième siécle se comprend bien si on connaît la théorie des séries entières. On y trouve :
En calculantavec les propriétés de i, on trouve entremêlées la série de cos(x) et celle de sin(x) multipliée par i.
Cordialement.
NB : Ce n'est pas ainsi que Euler a découvert cette relation.
NBB : eix est effectivement une fonction périodique, de période 2 pi.
Ah oui effectivement... Merci bien! Ça me parait toujours un peu bizarre mais
moins illogique... Parce que le seul moyen pour d'admettre qu'une exp peut être
croissante puis décroissante, c'est qu'elle ait des valeurs complexes pour que
i*i=-1, mais exp(ix) est a valeur dans R non?
Ah non,
exp(ix) est un complexe : exp(ix)=cos(x)+isin(x).
Cordialement.
NB : On définit sans problème le complexe exp(z) où z est n'importe quel complexe.
c'est plutôt la dérivation en x de (cosx+isinx)/exp(ix)=1 faites le calcul!!
Yes, yes, yes, yes, mais x est un réel et z=i*x + truc. La question est en fait est-ce que quelqu'un arrive à imaginer dans sa tête comment exp(ix) peut croitre et décroitre alors que x est réel? On nous a tous appris qu'elle était 2pi périodique, mais si on devait tracer exp(ix) sans le savoir, on tracerait sans réfléchir une exp(x) sauf qu'elle serait complexe. C'est ça mon problème. Si ça vous pose pas de problème logique à vous, mon cerveaux doit absolument être débuggé d'urgence!!!Envoyé par gg0
Encore une fois,
tu oublies que l'exponentielle est un nombre complexe. Au contraire, il est très facile de placer eix dans le plan complexe et de voir ce que fait le point représentatif quand x varie : Il tourne sur le cercle trigonométrique et la périodicité vient du fait qu'au bout d'un tour on est revenu au départ.
Mais je me demande : Connais(tu quelque chose aux nombres complexes ???
NB : "i on devait tracer exp(ix) sans le savoir, on tracerait sans réfléchir une exp(x)" ??? Pourquoi est-on obligé de faire n'importe quoi ? exp(ix) n'est pas exp(x), donc il n'y a aucune raison d'agir aussi bêtement.
Dernière modification par gg0 ; 14/01/2013 à 10h01.
Oui, je sais.
Oui, c'est juste que tu ne comprends pas mon problème, **** Attaque inutile ****.
Bien sûr qu'on a des raison d'agir aussi bêtement! Si personne était là pour nous dire qu'elle est périodique, COMMENT ON LE SAURAIT?
**** Attaque inutile ****
Dernière modification par Médiat ; 15/01/2013 à 08h52. Motif: Correction balises et ménage
En espérant calmer l'atmosphère et vous aider à comprendre, votre problème est lorsque vous parlez de fonction croissante puis décroissante. Cela n'a aucun sens pour une fonction à valeurs complexes car l'ensemble des nombres complexes n'est pas ordonné (plus précisément on ne peut pas le munir d'un ordre compatible avec les opérations algébriques). Dès lors, votre incompréhension relève d'une représentation mentale fausse.
Je voulais dire exp(ix) est une application de R dans C.
... parce que à chaque imaginaire pur on peu associer une infinité de nombre complexe, c'est ça? C'est vrai que plusieurs complexes peuvent avoir le même module, mais des valeurs différentes... Mais comment on sait que exp(ix) n'est pas un imaginaire pur?
Merci au fait!
Bonjour,
Tu n'es pas sans savoir que eix = Cos(x) + i.Sin(x) ... Donc ce n'est pas un réel, ni un imaginaire, c'est un complexe.
Gutaropathe,
pour pouvoir essayer d'avancer, j'ai posé une question qui traduisait ma perplexité, face à des réponses bizarres :
" Connais(tu quelque chose aux nombres complexes ??"
ta réponse malsaine :
"Oui, c'est juste que tu ne comprends pas mon problème. *** Message d'origine corrigé ***"
montre que tu n'es pas prêt à te remettre en question pour t'expliquer et comprendre. Je te laisse donc continuer à t'illusionner sur tes (fausses) connaissances.
Bonne chance aux autres intervenants !!!
Ciao.
NB : j'ai enseigné les nombres complexe bien plus longtemps sans doute que tu as vécu.
Dernière modification par Médiat ; 15/01/2013 à 08h53. Motif: Correction de citation corrigée
Gg0,
Désolé de m'être agacé, mais ton commentaire sentait plus la nervosité que la perplexité... Je l'ai perçu comme un
"retourne en classe et revient après!" sauf que c'est pas des réponseS que je trouverais en classe pour le moment. Et j'ai tendance a etre assez acide avec les gens qui m'inspirent impatience et condescendance.
Aller sans rancune?
correct, ça fait six fois maintenant qu'on me le rappelle^^ mais je demande pourquoi quand même. Et ne me parle pas du cercle trigo et de la périodicité de exp(ix) qui est un reel pour x=kpi et imaginaire pour x=kpi/2, je sais ça aussi, mais je demande pourquoi. Et on m'a aussi dit pour les developpements de taylors de exp, sin et cos... Je veux savoir si il y a autre façon d'arriver a cette conclusion, un raisonnement plus intuitif que ça...
En fait je viens de comprendre... Si le module de |exp(ix)|=1 pour tout x, alors exp(ix) ne peut être qu'une fonction circulaire dans le plan complexe... C'était évident en fait. Honte a moi xD.
Merci à tous les intervenants cependant.
Enfin x dans [-1;1]
Ok !
Alors on repart du bon endroit. Je t'ai dit :
Manifestement, tu n'as pas fait le calcul ("ça fait six fois maintenant qu'on me le rappelle^^ mais je demande pourquoi quand même"), alors que je croyais la question réglée !
En calculantavec les propriétés de i, on trouve entremêlées la série de cos(x) et celle de sin(x) multipliée par i.
On pose plus généralement, pour tout complexe z :
Cette série converge pour tout z, redonne l'exponentielle réelle (celle que tu as vue en terminale) si z est un réel, et, comme
il est nécessaire de savoir quel complexe est eib. Pour x réel (b était un réel) on obtient
La première série est justement la série qui donne cos(x); la deuxième (après les premiers "..."), une fois i factorisée donne la série qui vaut sin(x).Donc
Cordialement.
NB : les mathématiciens définissent en fait sin et cos comme la partie réelle et la partie imaginaire de eix.
Et cette méthode est tellement générale que dans les nombres complexes fendus (ou nombres perplexes) c'est à dire les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme a + jb, où j² = 1, on obtient
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
C'est plus qu'il m'en fallait, merci! Les complexes ne sont plus un objet de complexe maintenant qu'il sont devenu simples pour moi xD!
Par contre les perplexes portent bien leurs noms, ils me laissent perplexe^^ (mode blague de merde off)
En L3?
Blague à part, puisque vous êtes physicien, je me fend d'une explication physique.
Les systèmes linéaires (physique ou différentiel) d'ordre 1 ont une réponse (solution) en exponentielle réelle. C'est lié au fait que dans R, tout polynôme de degré 1 a une solution unique.
A l'odre deux, pour obtenir la solution, une façon élégante est de généraliser l'exponentielle réelle par l'exponentielle complexe. C'est lié au fait que sur C, tout polynôme de degré 2 à deux racines. (et espace vectoriel de degré 2 pour la solution de l'équation diff)
Un cas particulier intéressant est le système physique masse ressort, dont l'équation différentielle est
dont la solution est en
Une expo complexe qui tourne dans un sens et une expo complexe qui tourne dans l'autre sens, pour au final donner une fonction sinusoïdale.
Pourquoi bizarre?
Le cos n'est jamais que la valeur moyenne arithmétique des deux expo précédente.
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Et tout ça donne la magnifique formule :
Oops...Petit mélange entre temporel et fréquentiel, équation différentielle et équation caractéristique.
Désolé.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Merci pour l'aspect pratique!
Bonjour,
cette discussion me donne envie de faire un peu de formalisme de construction analytique de la trigonométrie...
On définit pour tout nombre complexe
On calcule
Par cette définition sous forme de série absolument convergente, on démontre que pour tous complexes
On démontre ensuite que pour tout entier naturel :
On démontre ensuite que pour tout rationnel
(Il faut bien voir que si
Ce n'est ensuite que par continuité et densité de Q dans R qu'on peut donner un sens à notation
En revanche, la notation
On définit ensuite (et donc par "e à la puissance", il faut lire "exponentielle de"):
ce qui revient à dire que
Pour l'instant, ces fonction cosinus et sinus sont sans aucune relation avec le cercle trigonométrique.
On étudie ensuite
Pour un
Puisque
Soit la fonction
Soit la borne inférieure des zéros positifs de la fonction
On a donc
La fonction exponentielle admet
Dernière modification par breukin ; 22/01/2013 à 11h09.
Bon, c'est bon maintenant! Faut arrêter! xD (joke)
Merci Breukin pour cet éclairage.
Le sujet avait déjà été abordé en math et en physique sur FSG.
http://forums.futura-sciences.com/ma...and-bluff.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...ne-derive.html
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
