Démonstration d'une dérivé

[invite61d6b09c]

Salut tout le monde ,
je me demandais comment on a eu le resultat suivant
(cos wt)' = - w sin wt
en general je cherche une démonstration pour trouver moi meme les différents dérivés
merci
-----

[Tiluc40]

Bonsoir,

En calculant la limite de quand dt tend vers 0.

Un peu de trigonométrie, et développement du sin en 0, et ça roule.

[philou21]

Bonsoir
on peut également passer par les formules d'Euler

[obi76]

Bonsoir,

ou par la transformée de Fourier

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Bonsoir,

En calculant la limite de quand dt tend vers 0.

Un peu de trigonométrie, et développement du sin en 0, et ça roule.

Loin de moi l'idée de critiquer, mais si on développe le sinus en 0, on utilise la dérivée dans la démo.

Non?

[Tiluc40]

Loin de moi l'idée de critiquer, mais si on développe le sinus en 0, on utilise la dérivée dans la démo.

Non?

La dérivée du sinus, pas celle du cosinus

[stefjm]

La dérivée du sinus, pas celle du cosinus

C'est bien ce qu'il me semblait : ça tourne en rond.

[stefjm]

Salut tout le monde ,
je me demandais comment on a eu le resultat suivant
(cos wt)' = - w sin wt
en general je cherche une démonstration pour trouver moi meme les différents dérivés
merci

http://forums.futura-sciences.com/ma...and-bluff.html

[stefjm]

Pour le plaisir de tourner en rond avec la démo...

https://groups.google.com/group/fr.s...8108fe813b3551

https://groups.google.com/group/fr.s...345cd64a206cf9

ou bien encore
https://groups.google.com/group/fr.e...da500f13ade45a

[b@z66]

Loin de moi l'idée de critiquer, mais si on développe le sinus en 0, on utilise la dérivée dans la démo.

Non?

Ben, il suffit de développer cos(w(t+dt)) dans ce rapport. Selon mes souvenirs très lointains de terminale:

cos(w(t+dt))=cos(wt)cos(w.-dt)+sin(wt)sin(w.-dt)=cos(wt)+sin(wt).w.-dt

d'où le résultat de la dérivée en soustrayant cos(wt) et en divisant par dt, -w.sin(wt).

L'approximation de cos(wt)(cos(w.-dt)-1)/dt=0 doit être vraie si on admet que la dérivée de cos(wt) est nulle en zéro(ce qui est justifié par des considérations géométriques sur le cercle trigo). De même, la simplification sin(-w.dt)=-w.dt découle de considérations géométriques sur le cercle trigonométrique. On peut noter d'ailleurs que sin x=x, pour x proche de 0, est seulement vrai pour le sinus en radian(et pas en degré) qui découle comme dit précédemment de considérations sur le cercle trigonométrique.

PS: si le problème tourne en rond, c'est qu'il a justement une bonne raison pour cela.

[invitea350fd50]

bonsoir
je proposerai cela :

[philou21]

bonsoir
je proposerai cela :..

oui

Bonsoir
on peut également passer par les formules d'Euler

.....................

[gatsu]

Salut tout le monde ,
je me demandais comment on a eu le resultat suivant
(cos wt)' = - w sin wt
en general je cherche une démonstration pour trouver moi meme les différents dérivés
merci

on peut trouver une raison plutot géométrique :

Vu que les cos et les sinus sont définis par rapport à un cercle
alors on cos^2+sin^2=1
Si on fait la dérivée on obtient cos'cos+sin'sin=0
En supposant que la relation
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
puisse être dérivée de façon géométrique on a alors
cos(x+dx)-cos(x)=-sin(x)sin(dx)
Bon alors là pour l'instant je ne vois pas quoi faire d'autre que de supposer sin(dx)~dx par observation géométrique sur un cercle : par définition lorsque l'angle tend vers zero la longueur de l'arc de cercle correspondant tend vers la longueur du coté opposé au triangle rectangle correspondant.
On obtient ainsi cos'=-sin et il en découle directement depuis la première equation sin'=cos.

[Tiluc40]

Bonsoir
je proposerai cela :

Bonjour,
On utilise ici la dérivée de la fonction exponentielle. Mais comment prouve-t-on que

[invitecfcccdc5]

Sinon tu prend le cercle et tu te dit que si tu tourne dans le sens des aiguille du montre c'est la Dérivée et dans le sens inverse l'Intégrale
^^ rien de plus facile

[stefjm]

Bon alors là pour l'instant je ne vois pas quoi faire d'autre que de supposer sin(dx)~dx par observation géométrique sur un cercle : par définition lorsque l'angle tend vers zero la longueur de l'arc de cercle correspondant tend vers la longueur du coté opposé au triangle rectangle correspondant.

La circularité du raisonnement est bien ici.
L'équivalent de sin x en 0 est donné par sa dérivée. (développement de Taylor qui fait apparaitre les dérivées successives.)

Pas facile...

[stefjm]

Bonjour,
On utilise ici la dérivée de la fonction exponentielle. Mais comment prouve-t-on que

C'est une définition de la fonction exponentielle?

Comme disait Blier "Merde on tourne en rond..."
http://www.youtube.com/watch?v=ScXxy0MI2WQ

[invite39876]

Bonjour,
On utilise ici la dérivée de la fonction exponentielle. Mais comment prouve-t-on que

Il me semble que ca vient tout simplement de la definition de l'exponentielle d'un nombre complexe.

[Tiluc40]

Faudra que je récupère mes vieux cours pour faire le point sur qui découle de quoi (quand j'en aurais le courage )

[gatsu]

La circularité du raisonnement est bien ici.
L'équivalent de sin x en 0 est donné par sa dérivée. (développement de Taylor qui fait apparaitre les dérivées successives.)

Pas facile...

Je ne comprends pas où est la circularité dans mon raisonnement. Je fais simplement l'observation géométrique que la longueur d'un arc est proche de celle du segment droit correspondant pour des petits angles. C'est simplement comme dire que la longueur d'un arc peut être évaluée en sommant les longueurs de segments infinitésiaux constituant l'arc susnommé.

[b@z66]

La circularité du raisonnement est bien ici.
L'équivalent de sin x en 0 est donné par sa dérivée. (développement de Taylor qui fait apparaitre les dérivées successives.)

Pas facile...

Comme je l'ai déjà rappeler, cette remarque n'est valable que pour le sin en radians. Il faut bien partir de quelque chose au départ, savoir déjà comment tu définis toi-même au départ fondamentalement les fonctions sinus et cosinus. C'est juste déjà au départ une question de définition initiale. Le sinus en radian repose lui sur le cercle trigonométrique et son périmètre(période) de 2pi. L'arc de cercle autour du point correspondant à l'angle 0(mesure d'angle x) tend à se confondre avec la tangente au cercle en ce même point et qui est elle-même parallèle à l'axe des sinus. La longueur de l'arc de cercle(mesure d'angle) tend donc à se confondre avec sa projection sur l'arc des sinus(sin x=x) quand cette longueur devient très petite. Après cela, on peut peut-être partir sur d'autres considérations concernant les espaces non-euclidiens ou autres pour voir si les propriétés seraient les mêmes ou non mais, dans le cas de l'espace euclidien(le seul que je connais), cela me semble largement suffisant de baser les propriétés du sinus(radian) sur celle du cercle trigo. Après tu peux essayer toi-même d'utiliser une autre définition du sinus ou du cosinus(en se basant pourquoi pas sur les exponentielles qui elles mêmes peuvent se définir à partir des logarithmes,...) mais il faut toujours poser à un moment ou à un autre une définition claire avec des hypothèses non démontrées pour pouvoir retrouver l'ensemble des propriétés.

[invite4ff2f180]

Bonjour,
on peut exprimer le raisonnement de gatsu de manière rigoureuse :

Prenez un cercle de rayon unité et de centre 0 ainsi que deux points distincts A et M sur ce cercle. On appelle H le projeté orthogonal de M sur OA et B le point d'intersection de la droite OM avec la perpendiculaire à OA passant pas A.

CONSEIL : faites un dessin

Alors, en appelant x l'angle entre OA et OM :

aire du triangle OHM : 1/2*cos(x)*sin(x)
aire du triangle OAB : 1/2*tan(x)
aire du morceau de cercle OAM : x/2

Or Aire_OHM < Aire_OAM < Aire_OAB
donc cos(x) < x/sin(x)<tan(x)/sin(x)

en prenant la limte pour x-> 0, d'après le théorème d'encadrement, on a lim sin(x)/x = 1 pour x->0.

ensuite avec ces résultats on peut démontrer facilement les dérivée de cosinus et sinus sans tourner en rond.

[invite39876]

Comme je l'ai déjà rappeler, cette remarque n'est valable que pour le sin en radians. Il faut bien partir de quelque chose au départ, savoir déjà comment tu définis toi-même au départ fondamentalement les fonctions sinus et cosinus. C'est juste déjà au départ une question de définition initiale. Le sinus en radian repose lui sur le cercle trigonométrique et son périmètre(période) de 2pi. L'arc de cercle autour du point correspondant à l'angle 0(mesure d'angle x) tend à se confondre avec la tangente au cercle en ce même point et qui est elle-même parallèle à l'axe des sinus. La longueur de l'arc de cercle(mesure d'angle) tend donc à se confondre avec sa projection sur l'arc des sinus(sin x=x). Après cela, on peut peut-être partir sur d'autres considérations concernant les espaces non-euclidiens ou autres pour voir si les propriétés seraient les mêmes ou non mais, dans le cas de l'espace euclidien(le seul que je connais), cela me semble largement suffisant de baser les propriétés du sinus(radian) sur celle du cercle trigo. Après tu peux essayer toi-même d'utiliser une autre définition du sinus ou du cosinus(en se basant pourquoi pas sur les exponentielles qui elles mêmes s'appuient sur les logarithmes,...) mais il faut toujours poser à un moment où à un autre une définition claire avec des hypothèses non démontrées pour pouvoir retrouver l'ensemble des propriétés.

Justement ce n'est pas parce qu'une courbe "converge simplement" vers une autre que leurs longueurs convegent aussi.
C'est pas parce que la courbe du sinus se confond avec la tangente au cercle que 'lon peu en deduire qqch. Du moins il me semble.
Il me semble meme qu'il y a un contre exemple, avec la diagonale du carré de coté 1 qui se trouve mesurer 1, si on replie les bords du carré une infinité de fois on a l'impression que le coté tend vers la daigonale, ce qui est vrai, mais ca n'assure pas que les longueurs soient les memes.
Pour le definition de l'exponentielle, il me semble que la definition comme la limite de 1+Z+Z²/2!+...+Z^n/n! assure bien que la derivée de exp c'est exp (mais je ne suis pas tres au point en maths )

[invite4ff2f180]

Il y a même plus rapide en regardant le dessin :

sin(x) < x < tan(x) pour 0<x<pi/2 et ensuite c'est trivial

[invite39876]

Voila un lien pour le "paradoxe de la diagonale"
http://www.maths-et-physique.net/art...8006898-6.html

[b@z66]

Justement ce n'est pas parce qu'une courbe "converge simplement" vers une autre que leurs longueurs convegent aussi.
C'est pas parce que la courbe du sinus se confond avec la tangente au cercle que 'lon peu en deduire qqch. Du moins il me semble.
Il me semble meme qu'il y a un contre exemple, avec la diagonale du carré de coté 1 qui se trouve mesurer 1, si on replie les bords du carré une infinité de fois on a l'impression que le coté tend vers la daigonale, ce qui est vrai, mais ca n'assure pas que les longueurs soient les memes.
Pour le definition de l'exponentielle, il me semble que la definition comme la limite de 1+Z+Z²/2!+...+Z^n/n! assure bien que la derivée de exp c'est exp (mais je ne suis pas tres au point en maths )

Je sais c'est le même principe que dans le cas du contour de certaines fractales qui en zoomant ne tend jamais vers quelque de "régulier". Ça me rappelle une fois que j'avais tenté de retrouver le périmètre d'un cercle en approximant le contour du cercle à celui d'une pile de disque(comme dans les tours de Hanoï) en faisant épouser au mieux leur rayon respectif de sorte qu'ils tiennent bien dans le cercle "global". En faisant tendre l'épaisseur des disques vers 0, j'avais finalement eu une mauvaise surprise quant au résultat final qui n'était plus 2piR mais c'était avant de me rendre compte que la convergence ne se faisait pas "assez" uniformément: les "marches" de l'empilement rajoutait toujours une certaine longueur non prévue au départ.

[b@z66]

Voila un lien pour le "paradoxe de la diagonale"
http://www.maths-et-physique.net/art...8006898-6.html

Merci pour le lien, c'est bien en fait le même phénomène que j'avais personnellement observé mais pour le cercle.

[gatsu]

Il y a même plus rapide en regardant le dessin :

sin(x) < x < tan(x) pour 0<x<pi/2 et ensuite c'est trivial

Merci pour la démo .

[invitea350fd50]

Bonjour,
On utilise ici la dérivée de la fonction exponentielle. Mais comment prouve-t-on que

Re
pour montrer que exp est sa propre dérivée il faut partir de la fonction inverse. Je m'explique:
-on définit la fonction ln comme la primitive de la fonction inverse qui s'annule en 1.
-on définit exponentielle comme la fonction réciproque de ln
-on fait appel au théorème d'analyse qui relie les dérivées de fonctions réciproques (qui est une formulation de la symétrie des courbes représentatives de deux fonctions réciproques l'une de l'autre) :
soit
alors


appliqué à exp on obtient :

CQFD

[invite61d6b09c]

Merci pour vos efforts j'ai compris