Salut tout le monde ,
je me demandais comment on a eu le resultat suivant
(cos wt)' = - w sin wt
en general je cherche une démonstration pour trouver moi meme les différents dérivés
merci
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Salut tout le monde ,
je me demandais comment on a eu le resultat suivant
(cos wt)' = - w sin wt
en general je cherche une démonstration pour trouver moi meme les différents dérivés
merci
Bonsoir,
En calculant la limite dequand dt tend vers 0.
Un peu de trigonométrie, et développement du sin en 0, et ça roule.
Dernière modification par Tiluc40 ; 27/01/2011 à 20h33.
Bonsoir
on peut également passer par les formules d'Euler
Bonsoir,
ou par la transformée de Fourier![]()
\o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Pour le plaisir de tourner en rond avec la démo...
https://groups.google.com/group/fr.s...8108fe813b3551
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ou bien encore
https://groups.google.com/group/fr.e...da500f13ade45a
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Ben, il suffit de développer cos(w(t+dt)) dans ce rapport. Selon mes souvenirs très lointains de terminale:
cos(w(t+dt))=cos(wt)cos(w.-dt)+sin(wt)sin(w.-dt)=cos(wt)+sin(wt).w.-dt
d'où le résultat de la dérivée en soustrayant cos(wt) et en divisant par dt, -w.sin(wt).
L'approximation de cos(wt)(cos(w.-dt)-1)/dt=0 doit être vraie si on admet que la dérivée de cos(wt) est nulle en zéro(ce qui est justifié par des considérations géométriques sur le cercle trigo). De même, la simplification sin(-w.dt)=-w.dt découle de considérations géométriques sur le cercle trigonométrique. On peut noter d'ailleurs que sin x=x, pour x proche de 0, est seulement vrai pour le sinus en radian(et pas en degré) qui découle comme dit précédemment de considérations sur le cercle trigonométrique.
PS: si le problème tourne en rond, c'est qu'il a justement une bonne raison pour cela.![]()
Dernière modification par b@z66 ; 27/01/2011 à 22h48.
La curiosité est un très beau défaut.
bonsoir
je proposerai cela :
![]()
on peut trouver une raison plutot géométrique :
Vu que les cos et les sinus sont définis par rapport à un cercle
alors on cos^2+sin^2=1
Si on fait la dérivée on obtient cos'cos+sin'sin=0
En supposant que la relation
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
puisse être dérivée de façon géométrique on a alors
cos(x+dx)-cos(x)=-sin(x)sin(dx)
Bon alors là pour l'instant je ne vois pas quoi faire d'autre que de supposer sin(dx)~dx par observation géométrique sur un cercle : par définition lorsque l'angle tend vers zero la longueur de l'arc de cercle correspondant tend vers la longueur du coté opposé au triangle rectangle correspondant.
On obtient ainsi cos'=-sin et il en découle directement depuis la première equation sin'=cos.
Sinon tu prend le cercle et tu te dit que si tu tourne dans le sens des aiguille du montre c'est la Dérivée et dans le sens inverse l'Intégrale
^^ rien de plus facile![]()
La circularité du raisonnement est bien ici.Bon alors là pour l'instant je ne vois pas quoi faire d'autre que de supposer sin(dx)~dx par observation géométrique sur un cercle : par définition lorsque l'angle tend vers zero la longueur de l'arc de cercle correspondant tend vers la longueur du coté opposé au triangle rectangle correspondant.
L'équivalent de sin x en 0 est donné par sa dérivée. (développement de Taylor qui fait apparaitre les dérivées successives.)
Pas facile...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
C'est une définition de la fonction exponentielle?
Comme disait Blier "Merde on tourne en rond..."
http://www.youtube.com/watch?v=ScXxy0MI2WQ
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Faudra que je récupère mes vieux cours pour faire le point sur qui découle de quoi(quand j'en aurais le courage
)
Je ne comprends pas où est la circularité dans mon raisonnement. Je fais simplement l'observation géométrique que la longueur d'un arc est proche de celle du segment droit correspondant pour des petits angles. C'est simplement comme dire que la longueur d'un arc peut être évaluée en sommant les longueurs de segments infinitésiaux constituant l'arc susnommé.
Comme je l'ai déjà rappeler, cette remarque n'est valable que pour le sin en radians. Il faut bien partir de quelque chose au départ, savoir déjà comment tu définis toi-même au départ fondamentalement les fonctions sinus et cosinus. C'est juste déjà au départ une question de définition initiale. Le sinus en radian repose lui sur le cercle trigonométrique et son périmètre(période) de 2pi. L'arc de cercle autour du point correspondant à l'angle 0(mesure d'angle x) tend à se confondre avec la tangente au cercle en ce même point et qui est elle-même parallèle à l'axe des sinus. La longueur de l'arc de cercle(mesure d'angle) tend donc à se confondre avec sa projection sur l'arc des sinus(sin x=x) quand cette longueur devient très petite. Après cela, on peut peut-être partir sur d'autres considérations concernant les espaces non-euclidiens ou autres pour voir si les propriétés seraient les mêmes ou non mais, dans le cas de l'espace euclidien(le seul que je connais), cela me semble largement suffisant de baser les propriétés du sinus(radian) sur celle du cercle trigo. Après tu peux essayer toi-même d'utiliser une autre définition du sinus ou du cosinus(en se basant pourquoi pas sur les exponentielles qui elles mêmes peuvent se définir à partir des logarithmes,...) mais il faut toujours poser à un moment ou à un autre une définition claire avec des hypothèses non démontrées pour pouvoir retrouver l'ensemble des propriétés.
Dernière modification par b@z66 ; 28/01/2011 à 15h39.
La curiosité est un très beau défaut.
Bonjour,
on peut exprimer le raisonnement de gatsu de manière rigoureuse :
Prenez un cercle de rayon unité et de centre 0 ainsi que deux points distincts A et M sur ce cercle. On appelle H le projeté orthogonal de M sur OA et B le point d'intersection de la droite OM avec la perpendiculaire à OA passant pas A.
CONSEIL : faites un dessin
Alors, en appelant x l'angle entre OA et OM :
aire du triangle OHM : 1/2*cos(x)*sin(x)
aire du triangle OAB : 1/2*tan(x)
aire du morceau de cercle OAM : x/2
Or Aire_OHM < Aire_OAM < Aire_OAB
donc cos(x) < x/sin(x)<tan(x)/sin(x)
en prenant la limte pour x-> 0, d'après le théorème d'encadrement, on a lim sin(x)/x = 1 pour x->0.
ensuite avec ces résultats on peut démontrer facilement les dérivée de cosinus et sinus sans tourner en rond.
Justement ce n'est pas parce qu'une courbe "converge simplement" vers une autre que leurs longueurs convegent aussi.Comme je l'ai déjà rappeler, cette remarque n'est valable que pour le sin en radians. Il faut bien partir de quelque chose au départ, savoir déjà comment tu définis toi-même au départ fondamentalement les fonctions sinus et cosinus. C'est juste déjà au départ une question de définition initiale. Le sinus en radian repose lui sur le cercle trigonométrique et son périmètre(période) de 2pi. L'arc de cercle autour du point correspondant à l'angle 0(mesure d'angle x) tend à se confondre avec la tangente au cercle en ce même point et qui est elle-même parallèle à l'axe des sinus. La longueur de l'arc de cercle(mesure d'angle) tend donc à se confondre avec sa projection sur l'arc des sinus(sin x=x). Après cela, on peut peut-être partir sur d'autres considérations concernant les espaces non-euclidiens ou autres pour voir si les propriétés seraient les mêmes ou non mais, dans le cas de l'espace euclidien(le seul que je connais), cela me semble largement suffisant de baser les propriétés du sinus(radian) sur celle du cercle trigo. Après tu peux essayer toi-même d'utiliser une autre définition du sinus ou du cosinus(en se basant pourquoi pas sur les exponentielles qui elles mêmes s'appuient sur les logarithmes,...) mais il faut toujours poser à un moment où à un autre une définition claire avec des hypothèses non démontrées pour pouvoir retrouver l'ensemble des propriétés.
C'est pas parce que la courbe du sinus se confond avec la tangente au cercle que 'lon peu en deduire qqch. Du moins il me semble.
Il me semble meme qu'il y a un contre exemple, avec la diagonale du carré de coté 1 qui se trouve mesurer 1, si on replie les bords du carré une infinité de fois on a l'impression que le coté tend vers la daigonale, ce qui est vrai, mais ca n'assure pas que les longueurs soient les memes.
Pour le definition de l'exponentielle, il me semble que la definition comme la limite de 1+Z+Z²/2!+...+Z^n/n! assure bien que la derivée de exp c'est exp (mais je ne suis pas tres au point en maths)
Il y a même plus rapide en regardant le dessin :
sin(x) < x < tan(x) pour 0<x<pi/2 et ensuite c'est trivial
Voila un lien pour le "paradoxe de la diagonale"
http://www.maths-et-physique.net/art...8006898-6.html
Je sais c'est le même principe que dans le cas du contour de certaines fractales qui en zoomant ne tend jamais vers quelque de "régulier". Ça me rappelle une fois que j'avais tenté de retrouver le périmètre d'un cercle en approximant le contour du cercle à celui d'une pile de disque(comme dans les tours de Hanoï) en faisant épouser au mieux leur rayon respectif de sorte qu'ils tiennent bien dans le cercle "global". En faisant tendre l'épaisseur des disques vers 0, j'avais finalement eu une mauvaise surprise quant au résultat final qui n'était plus 2piR mais c'était avant de me rendre compte que la convergence ne se faisait pas "assez" uniformément: les "marches" de l'empilement rajoutait toujours une certaine longueur non prévue au départ.Justement ce n'est pas parce qu'une courbe "converge simplement" vers une autre que leurs longueurs convegent aussi.
C'est pas parce que la courbe du sinus se confond avec la tangente au cercle que 'lon peu en deduire qqch. Du moins il me semble.
Il me semble meme qu'il y a un contre exemple, avec la diagonale du carré de coté 1 qui se trouve mesurer 1, si on replie les bords du carré une infinité de fois on a l'impression que le coté tend vers la daigonale, ce qui est vrai, mais ca n'assure pas que les longueurs soient les memes.
Pour le definition de l'exponentielle, il me semble que la definition comme la limite de 1+Z+Z²/2!+...+Z^n/n! assure bien que la derivée de exp c'est exp (mais je ne suis pas tres au point en maths)
La curiosité est un très beau défaut.
Merci pour le lien, c'est bien en fait le même phénomène que j'avais personnellement observé mais pour le cercle.Voila un lien pour le "paradoxe de la diagonale"
http://www.maths-et-physique.net/art...8006898-6.html![]()
La curiosité est un très beau défaut.
Re
pour montrer que exp est sa propre dérivée il faut partir de la fonction inverse. Je m'explique:
-on définit la fonction ln comme la primitive de la fonction inverse qui s'annule en 1.
-on définit exponentielle comme la fonction réciproque de ln
-on fait appel au théorème d'analyse qui relie les dérivées de fonctions réciproques (qui est une formulation de la symétrie des courbes représentatives de deux fonctions réciproques l'une de l'autre) :
soit
alors
appliqué à exp on obtient :
CQFD
Merci pour vos efforts j'ai compris![]()