Théorème de Poincaré

[yootenhaiem]

Bonsoir F.S.,

J'ai un petit souci avec la démonstration de ce théorème.
Je vous passe le lien vers le théorème et sa preuve: http://mp.cpgedupuydelome.fr/documen...Poincar%E9.txt

En fait, il nous faut un ouvert étoilé U de pour appliquer le théorème mais dans la démonstration on arrive a expliciter la fonction grâce a un paramétrage bien choisi.

Apres avoir trouver une expression propice, il a fallut vérifier que la dérivée partielle de celle ci selon x est bien égale a P et que la dérivée partielle selon y est bien Q.
Mais pour cela il a fallut intervertir le signe intégrale et l’opérateur dérivée partielle. Pour cela il faut réussir a majorer la fonction au sein de l’intégrale précédemment de x, sauf qu'on ne précise pas que le U est bornée (dans le sens ou les coordonnées ne peuvent être infinies).

Merci d'avance,
M.
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[taladris]

Pas de problème d'inversion entre dérivée partielle et intégrale: c'est une intégrale sur un intervalle compact ( [0,1] ), donc l'intégrant, qui est continu, est forcément borné.

[yootenhaiem]

Bonsoir,
Voulez vous dire qu'avec I, le segment [0,1], on peut avoir: sans qu'il n'existe une certaine fonction intégrable sur I et tel que pour tout x de U,

[taladris]

Bonsoir,
Voulez vous dire qu'avec I, le segment [0,1], on peut avoir:

Pas tout à fait. Je dis que si est sur (I intervalle quelconque de ), alors la fonction définie par est dérivable en tout point de I, et que

sans qu'il n'existe une certaine fonction intégrable sur I et tel que pour tout x de U,

Remarque que si est sur , alors pour tout x, la fonction est continue sur [0,1], et donc bornée. La fonction existe nécessairement et en plus, on peut choisir constante (cette constante dépend de x).

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[yootenhaiem]

Je te pris de bien voir la page 30 de ce fichier PDF: http://jean-pierre.barani.pagesperso....fr/CONRES.PDF
On parle d'une hypothèse de domination et elle n'est pas vérifiée pour tout f dans ce cas.

[taladris]

Je te pris de bien voir la page 30 de ce fichier PDF: http://jean-pierre.barani.pagesperso....fr/CONRES.PDF
On parle d'une hypothèse de domination et elle n'est pas vérifiée pour tout f dans ce cas.

Oui, mais dans ton document, l'intervalle I n'est pas compact! Si l'intervalle I est compact, alors la dérivée partielle est automatiquement dominée.

[taladris]

Edit: l'hypothèse de domination dans ton document n'est pas la même que celle de mon message #4 et de ton message #3. Si l'intervalle d'intégration I est compact, alors l'hypothèse de domination dans le sens (message #4 ou #3) est automatique (cf. message #4). Au sens (plus fort) de ton document, elle sera automatiquement vérifiée si A est aussi compact. D'ailleurs, puisque on veut démontrer une propriété locale, on peut toujours supposer que l'intervalle A est compact (c'est le sens de la règle de Leibniz, toujours p.30).

Mais cela ne change rien à mon message #4. Je te trouve une source plus tard.

Cordialement

[yootenhaiem]

Je vois ce que vous vouliez dire.
Merci pour ton temps et pour la réponse. J'essaierai de démontrer ce résultat mais je pense que c'est cohérent ce que vous avez dit