dé à cinq faces

[invite986312212]

désolé si cette question a déjà été traitée: on ne peut pas chercher le mot "dé" dans les archives, qui ne connaissent pas les accents.

supposons qu'on veuille construire un dé à cinq faces sous la forme d'un prisme à base triangulaire. En gardant la base constante et en faisant varier la hauteur, on a avec une très petite hauteur une sorte de pièce de monnaie triangulaire (dé à deux faces) et avec une grande hauteur un dé à trois faces. Il y a une hauteur qui rend les cinq faces équiprobables.

Mais quel argument pourrait-on utiliser pour calculer cette hauteur parfaite? J'ai deux suggestions:
1) les cinq faces de même surface.
2) les 5 angles solides de sommet le barycentre du dé et s'appuyant sur les bords des faces, égaux.

qu'en pensez-vous?
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[yat]

L'avantage des dés classiques est qu'il n'y a pas besoin de se prendre la tête, dans un polyèdre régulier toutes les faces sont les mêmes alors il suffit qu'il soit bien équilibré.

Dans le cas de ton prisme triangulaire, il y a deux types de faces, donc pour équilibrer tout ça par le calcul il faut modéliser précisément le comportement du dé quand on le lance. Pour ça il faudrait probablement tenir compte d'un nombre incalculable d'éléments (dont les surfaces et les angles solides que tu cites).

Hélas je pense qu'une partie de ces éléments dépendent de la nature de la surface sur laquelle on lance le dé, ainsi que la vitesse avec laquelle il la percute, c'est à dire la facon de lancer.

Donc, à mon avis... lance un dé 6 et relance les 6, ou alors divise par 2 le score d'un dé 10.

[matthias]

Pas évident comme question. Si on regarde le problème d'un point de vue physique, je ne sais pas trop quelle condition il faudrait imposer pour arriver à l'équiprobabilité. Je ne pense pas que des surfaces égales soient suffisantes. Il faudrait tenir compte de la stabilité de chacune.

Heureusement avec des figures symétriques, pas besoin de se casser la tête, la symétrie elle-même assurant l'équiprobabilité.

[EDIT: grillé par Yat]

[invite986312212]

Donc, à mon avis... lance un dé 6 et relance les 6, ou alors divise par 2 le score d'un dé 10.

tu voulais sans-doute dire: divise par 4 le score d'un dé à 20 faces (icosaèdre), parce qu'il n'y a pas de solide régulier à 10 faces.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

tu voulais sans-doute dire: divise par 4 le score d'un dé à 20 faces (icosaèdre), parce qu'il n'y a pas de solide régulier à 10 faces.

C'est pas régulier qui est suffisant, c'est faces formant une seule classe par le groupe de symétrie. La double pyramide de base pentagonale répond à ce critère. Il y a des polyèdres solution pour tout nombre pair supérieur ou égal à 4.

Cordialement,

[invite86822278]

Je pencherais plutôt pour la réponse 2 mais je n'arrive pas pour le moment à le justifier.

Pour une forme simple comme celle du dé à 5 faces que tu décris, y a t il une différence entre les cas 1 et 2 ?

On peut déjà affirmer que les faces triangulaires sont équilatérales. Il n'y a plus que deux aires : celle des deux triangles et celle des trois rectangles. De même pour les angles solides : deux valeurs différentes seulement.

J'avais pensé tenter une généralisation pour une forme quelconque mais il advient que certaines formes ne fonctionnenent pas :

Si on prend un objet de la forme d'un culbuquet (ces jouets qui reviennent toujours a la meme positions d'equilibre), et que l'on imagine d'y mettre, au lieu de surfaces continues, plusieurs (beaucoup si besoin) faces. J'imagine que l'on se débrouille pour que chacune des faces constituent avec la barycentre un angle solide de même valeur. Cela doit être possible non ?
Dans ce cas, on sait néanmoins que la probabilité de tomber sur certaines faces sera... nulle.
La réponse 2 ne semble donc pas correcte, du moins si on cherche a la généraliser.

On doit pouvoir faire la même chose en considérant des surfaces égales.

[matthias]

Par contre il n'est pas très dur de penser à des solides qui peuvent jouer le rôle de dé à cinq faces, mais sans être des polyèdres à cinq faces. Il suffit par exemple de prendre un cylindre à base pentagonale, et d'arrondir les deux bases.

[invite86822278]

Ceci dit, si on prends une base equilaterale, on se retrouve avec une proba P de tomber sur une base et une proba Q de tomber sur un rectangle, avec 2P+3Q=1.
Il y a nécessairement un point (des points) d'équilibre ! Reste à pouvoir les déterminer...

[invite986312212]

ok pour la bipyramide à base pentagonale.

on pourrait peut-être raisonner comme ça:
lorsque le dé touche la surface, il a subi une rotation aléatoire, disons distribuée comme la loi uniforme sur la sphère (ce qui donne je-ne-sais quelle distribution pour les angles d'Euler). Le dé touche par un des 6 sommets. La face sur laquelle il va reposer finalement, c'est compliqué parce que le dé rebondit mais il faut bien idéaliser un peu, alors on pourrait imaginer qu'au moment de l'impact la vitesse est nulle et le dé ne fait que tomber sur la face qui contient la projection de son barycentre.

[yat]

Il y a nécessairement un point (des points) d'équilibre ! Reste à pouvoir les déterminer...

Moi je ne suis pas d'accord. Je pense que quel que soit le point d'équilibre trouvé, la probabilité des deux sortes de faces variera en fonction des caractéristiques de la surface et de choses comme l'angle d'attaque et la vitesse de chute. En effet le comportement d'un dé qui rebondit sur une table est extrêmement complexe, et rendre les faces équiprobables ne se limite pas à ce que les deux types de face aient la même "stabilité" (la stabilité, ici, étant ce que cherche à définir ambrosio).

[Jeanpaul]

On avait déjà débattu de cette question il y a quelques mois dans le cas d'un cylindre, à peine plus simple, mais il n'y avait pas eu de réponse définitive.