Bonjour,
Mn l'espace des matrices carrées d'ordre n muni d'une norme quelconque
Soit f:Mn-->Mn définie par f(A)=A^k où k est un entier naturel non nul. Montrer que f est différentiable
Je cherche f(A+H)=(A+H)^k
mais comment développer (A+H)^k? je ne peux pas utiliser le binôme de Newton car un produit de matrice ne commute pas toujours
merci de votre aide
As-tu essayé les cas k=2? k=3?
Si oui, qu'as-tu trouvé comme résultat? Avoir la réponse dans les cas simples t'aidera à deviner la réponse dans le cas général.
oui j'ai essayé cela mais ca me donne des truc deplus en plus long
(A+H)²=A²+AH+HA+H
(A+H)^3=A^3+A²H+AHA+AH²+HA²+H² A+H^3
A partir de ces deux exemples, tu peux au choix:
1) trouver une formule générale (un peu pénible à écrire mais relativement intuitive) pour, en extraire la partie linéaire et montrer que la partie restante est un
2) trouver la différentielle pour k=2, intuiter le résultat général et le prouver par récurrence en utilisant la formule pour la différentielle d'un produit.
Dernier conseil: de l'organisation dans la présentation des calculs change tout ici (et dans beaucoup d'autres exercices).
Par exemple, j'aurais plutôt écrit
Cordialement
