AB et BA ont même polynôme caractéristique

**Seirios** · 07/02/2013, 14h24

Bonjour à tous,

J'ai entendu dire que pour montrer que pour toutes matrices $\text{[math]}$ , les polynômes caractéristiques de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ étaient identiques, il suffisait de considérer le cas $\text{[math]}$ et que le résultat pour un corps $\text{[math]}$ quelconque s'en déduisait par un argument "de logique".

Pour ma part, je n'arrive à étendre le résultat qu'aux corps de caractéristique nulle : l'égalité des polynômes caractéristiques peut s'écrire au premier ordre (lorsque $\text{[math]}$ est fixé), donc il suffit de considérer la clôture algébrique et d'utiliser la complétude de la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique nulle.

Quelqu'un en saurait-il plus sur le sujet ?

Merci d'avance,
Seirios

**Médiat** · 07/02/2013, 14h38

Bonjour

La théorie des corps algébriquement clos de caractéristique p (premier) est complète, elle est même $\text{[math]}$ -catégorique

**Seirios** · 07/02/2013, 15h07

Effectivement, donc il suffit de le montrer pour les $\text{[math]}$ ; comme le résultat est vrai dans $\text{[math]}$ , il est vrai dans $\text{[math]}$ , puis par réduction modulo $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Merci !

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