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polynôme caractéristique

  1. jameso

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Messages
    243

    Question polynôme caractéristique

    salut;

    en relisant mon cahier d'algèbre je suis tombé sur un exo que nous n'avons jamais réussi à finir ...voila:

    soient E un Rev de dim finie impaire f dans L(E).il faut démontrer qu'il existe au moins une droite et un hyperplan de E stables par f.

    dans l'espoir d'une réponse définitive
    amicalement
    jameso


     


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  2. Stephen

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Localisation
    Lausanne
    Messages
    281

    Re : polynôme caractéristique

    Intéressant. C'est assez évident qu'il faut passer par les espaces propres et/ou le théorème de décomposition primaire, mais ça doit être chouette à faire dans le détail.

    Je vais regarder ça, si j'arrive à quelque chose je le posterai

    Amicalement,
    Stephen
     

  3. Stephen

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Localisation
    Lausanne
    Messages
    281

    Re : polynôme caractéristique

    Bon, ben en fait c'est assez évident : par le théorème de décomposition primaire, si est un annulateur de f produit de facteurs premiers entre eux, alors les sont stables par f, et on peut donc écrire E comme somme directe de ces facteurs.

    Il suffit de prendre le polynome caractéristique.

    Ca suffit ?

    Amicalement,
    Stephen
    Dernière modification par Stephen ; 21/08/2004 à 15h21.
     

  4. µµtt

    Date d'inscription
    août 2004
    Messages
    209

    Re : polynôme caractéristique

    Très intéressant et plutôt étonnant (j'ai même cherché un bon 1/4 heure à prouver que c'était faux !). Mais c'est vrai ! Faut pas chercher à montrer que c'est une somme directe (ça c'est grave faux par contre).


    L'existence de la droite est évidente (il existe au moins un vecteur propre).

    Hyperplan, ça rime avec forme linéaire. Forme linéaire ça rime avec tf (transposée de f), non ?

    Pareil il y a une forme linéaire u telle que tf(u) = a*u, en français dans le texte ça donne u o f = a*u.

    Ker (u) est un hyper-plan (connu) et stable par f (facile à vérifier)
     

  5. µµtt

    Date d'inscription
    août 2004
    Messages
    209

    Re : polynôme caractéristique

    Citation Envoyé par Stephen
    Bon, ben en fait c'est assez évident : par le théorème de décomposition primaire, si est un annulateur de f produit de facteurs premiers entre eux, alors les sont stables par f, et on peut donc écrire E comme somme directe de ces facteurs.

    Il suffit de prendre le polynome caractéristique.

    Ca suffit ?

    Amicalement,
    Stephen
    Je crois que ça marche pas (je me suis obstiné là-desus aussi bien sûr). Prends une matrice diagonal 5x5 avec 2 '1' et 3 '2' par exemple. Je crois que ça ne marche que si il y a une valeur propre d'ordre 1.
     


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  6. ixi

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Localisation
    Tübingen
    Âge
    32
    Messages
    881

    Re : polynôme caractéristique

    Salut,

    le polynome caractéristique est de degré impair. Donc il existe au moins une racine réelle (d'alembert). Donc il existe un sous-espace vectoriel de dimension 1 (une droite) stable.

    De même il existe un autre sev (tout le reste de l'espace) de dimension (n-1) stable.

    Je crois que c'est bon...
    "Je ne joue même pas aux dés...." (Dieu)
     

  7. µµtt

    Date d'inscription
    août 2004
    Messages
    209

    Re : polynôme caractéristique

    Citation Envoyé par ixi
    De même il existe un autre sev (tout le reste de l'espace) de dimension (n-1) stable.
    Pas d'accord, à mon avis ça ne marche que si la valeur propre est d'ordre 1.
     

  8. Stephen

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Localisation
    Lausanne
    Messages
    281

    Re : polynôme caractéristique

    Citation Envoyé par µµtt
    Je crois que ça marche pas (je me suis obstiné là-desus aussi bien sûr). Prends une matrice diagonal 5x5 avec 2 '1' et 3 '2' par exemple. Je crois que ça ne marche que si il y a une valeur propre d'ordre 1.
    Je vois pas le bins :-/

    Et en regardant le minimal et les intermédiaires entre le minimal et caractéristique ? Ici et bien sûr , j'ai un peu la flemme de calculer, mais il doit bien y avoir l'un des qui doit être de dimension 4 non ?

    Mon argument général s'appuie juste sur le caractéristique en fait, et est le suivant : on écrit , et où chaque est stable par A. On peut toujours choisir les de telle sorte qu'ils soient tous de degré pair, sauf l'un qui est de degré 1. Disons que est de degré 1.

    Dès lors, nous fournit le sev de dimension 1, et nous donne l'hyperplan.

    Bien sûr, c'est pas achevé, et il faut un peu de boulot sur l'hypothèse de mes qui doivent être premiers entre eux, mais ça me parait annexe. Mes excuses si je suis mal réveillé...
    Dernière modification par Stephen ; 21/08/2004 à 19h49.
     

  9. µµtt

    Date d'inscription
    août 2004
    Messages
    209

    Re : polynôme caractéristique

    Citation Envoyé par Stephen
    mais il doit bien y avoir l'un des qui doit être de dimension 4 non ?
    OK peut-être, mais il est stable ?? Forcément non puisqu'il posséde un vecteur propre qui va dans l'autre espace.


    Citation Envoyé par Stephen
    de telle sorte qu'ils soient tous de degré pair, sauf l'un qui est de degré 1.
    Qui est de degré impair ok, mais pourquoi '1' justement ?



    C'est peut-être moi qui suis mal réveillé !
     

  10. ixi

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Localisation
    Tübingen
    Âge
    32
    Messages
    881

    Re : polynôme caractéristique

    Bon, reprenons,

    poly caractéristique impair => au moins une valeur propre "a".

    Si la multiplicité de a dans le poly caractéristique est 1.
    puisque 1 =< dimension du sev propre =< multiplicité de a,
    on a un sev propre de dimension 1, c'est bon.
    Tout le reste de l'espace est un hyperplan stable.

    Si la multiplicité de a est strictement supérieure à 1.
    c'est là que je coince....
    mais bon je garde l'espoir, j'ai sorti ma bible Dunod de MP...
    "Je ne joue même pas aux dés...." (Dieu)
     

  11. µµtt

    Date d'inscription
    août 2004
    Messages
    209

    Re : polynôme caractéristique

    A mon avis cette voie est une impasse, mais bon ....


    Je suis content de ma solution avec le dual
     

  12. ixi

    Date d'inscription
    juillet 2004
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    Tübingen
    Âge
    32
    Messages
    881

    Re : polynôme caractéristique

    Ouais, mais j'y comprends rien!!

    Si tu as le temps, pourrais-tu la refaire en expliquant les passages d'une ligne à l'autre? merci!!

    Et puis, il y a quelque chose que je ne comprends pas dans ton post #4....
    Tu dis que l'existence de la droite est claire car il existe au moins un vecteur propre...d'accord sur l'existence d'une valeur propre, mais en quoi ça prouve qu'il y a une droite stable? Si sa multiplicité est supérieure à 1....
    Et après, si on a une droite stable, c'est fini!! puisque le reste de l'espace (qui est un hyperplan) est également stable...
    Donc pas besoin de démo pour l'hyperplan, non?
    "Je ne joue même pas aux dés...." (Dieu)
     

  13. µµtt

    Date d'inscription
    août 2004
    Messages
    209

    Re : polynôme caractéristique

    Ben si x est vecteur propre associé à la valeur propre u, f(v*x)=(u*v)*x donc la droite IR*x est bien stable.

    >> si on a une droite stable, c'est fini!! puisque le reste de l'espace (qui est un hyperplan) est également stable...

    Ca mérite une démo ! D'autant plus que c'est .... faux .... Regarde le post #5.


    Pour le post #4, c'est pas dur, tu prends le noyau d'une forme linéaire qui est valeur propre de tf (= adjoint de f, ça existe pour la même raison car E' a la même dimension, impaire). C'est bien un hyperplan et c'est stable (vérif facile).
     

  14. ixi

    Date d'inscription
    juillet 2004
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    Tübingen
    Âge
    32
    Messages
    881

    Re : polynôme caractéristique

    hmm, j'ai déjà compris mon erreur ...
    par exemple, une matrice triangulaire a une droite stable (le premier vecteur), mais le reste de l'espace n'est pas stable....

    mais je suis désolé, je n'arrive pas à comprendre ce qu'est "le noyau d'une forme linéaire qui est valeur propre de tf".
    Qu'est-ce qui est valeur propre de tf???
    "Je ne joue même pas aux dés...." (Dieu)
     

  15. µµtt

    Date d'inscription
    août 2004
    Messages
    209

    Re : polynôme caractéristique

    tf (adjoint de f) est un endomorphisme de l'espace dual, ok ? L'espace dual est de dimension impaire aussi donc tf admet une valeur propre, qui est une forme linéaire. Nommons la 'u'. On a tf(u) = a*u (a = valeur propre de tf) ou encore u o f = a*u, par définition de l'adjoint.

    H = Ker(u) est un hyperplan (comme tous les noyaux de formes non nulles, u != 0 car vecteur propre de tf). Je te laisse montrer que H est stable, justement grâce à u o f = a*u.

    J'espère que c'est plus clair ...


    C'est assez classique en fait, on fait un tour dans le dual, puis on revient dans l'espace d'origine.
     


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