Dualite et fibres vectoriels

[Oss118]

Bonsoir,
Je me penche sur les objets basiques de la geometrie et j'etudie en ce moment la notion de fibre vectoriel. Il y a quelquechose que je ne comprends pas. Un espace vectoriel est bien toujours isomorphe a son dual, alors pourquoi un fibre vectoriel et son dual ne sont pas toujours isomorphe? Par exemple le fibre tangent et cotangent?
J'arrive pas a piger pourquoi.
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[0577]

Bonjour,

un espace vectoriel est certes isomorphe à son dual au sens où il existe un isomorphisme entre les deux
mais il n'y a pas d'isomorphisme "naturel" (il faut faire un choix).
Si E est un fibré vectoriel sur un espace X et si E* est son dual, trouver un isomorphisme entre E et E* revient à choisir pour tout x dans X un isomorphisme entre les fibres E_x et E*_x qui varie continûment avec X (disons que je considère des fibrés au sens topologique, on peut remplacer partout
continu par si on est sur une variété et si on considère des fibrés au sens différentiel).
Autrement dit, on cherche une section s du fibré Hom(E,E*) telle que pour tout x, s(x) soit un isomorphisme. Il n'est pas évident a prori qu'une telle section existe.

En fait, la réponse à la question dépend du fait que E soit un fibré vectoriel réel ou complexe.

Cas où E est un fibré vectoriel réel : si l'espace X est "assez gentil" (disons séparé paracompact, ce qui est le cas par définition pour une variété)
alors il existe une métrique sur E, i.e un produit scalaire sur chaque fibre de E qui varie continûment au-dessus de X
(l'existence d'une métrique résulte d'un argument de recollement à l'aide de partitions de l'unité). Mais la donnée d'un
produit scalaire permet d'identifier un espace vectoriel à son dual. L'existence d'une métrique sur E implique donc l'existence d'un isomorphisme entre
E et E* : un fibré vectoriel réel est toujours isomorphe à son dual (mais là encore, il n'existe pas d'isomorphisme "naturel" : il faut faire un choix,
par exemple de métrique).

Cas où E est un fibré vectoriel complexe : si on veut copier l'argument du cas réel, on a envie de remplacer produit scalaire par produit hermitien.
Mais ça ne marche pas : il existe toujours une métrique hermitienne sur E mais un produit hermitien ne permet pas d'identifier un espace vectoriel complexe à son dual car un produit hermitien n'est pas une forme bilinéaire mais sesquilinéaire. Soit le "fibré conjugué" de E (fibré dont les fonctions de transition sont les conjugués complexes de celles de E). Par construction, une métrique hermitienne sur E donne un isomorphisme
entre et E*. On s'est donc ramené à la question : existe-t-il un isomorphisme entre E et ?
La donnée d'un tel isomorphisme est exactement celle d'une "structure réelle" sur E i.e d'un fibré vectoriel réel F dont E est la complexification :
E = F . Un fibré vectoriel complexe est donc isomorphe à son dual si et seulement s'il est la
complexification d'un fibré vectoriel réel. On peut montrer que ce n'est pas toujours le cas : il existe des obstructions topologiques
(un tel fibré a ses classes de Chern de degré impair nulles mais il existe des fibrés vectoriels complexes de première classe de Chern non-nulle,
par exemple sur ).