Intégrales de base

[Tranross]

Je suis en train de retravailler les formules avec Latex

Bonjour,

Ceci est mon premier message, je suis un élève d'économie à l'université libre de Bruxelles. J'essaye de me remettre à niveau en mathématiques après d'énormes lacunes accumulées lors de mes secondaires. Généralement je me débrouille pas mal mais il s'avère que ma prof de math n'a fourni que quelques formules ridicules au nombre de 7 dans le chapitre concernant les intégrales.

En effet, je n'ai su résoudre à peine la moitié des exercices avec ce qui m'a été donné. Je suis sur que j'aurai pu faire mieux avec ce qui m'a été fourni mais après 3heures de stagnation j'ai décidé de vous contacter.

J'ai cherché sur internet et je suis tombé sur ce formulaire un peu plus gros qui m'a d'ailleurs permis de résoudre des fonctions de type e^nx: http://www.hesit.be/files/info/1/108...integrales.pdf

Je n'y vois pas de formules me permettant de résoudre:

1) ∫(x^3+6)/(5x^2) dx

2) ∫x^2e^x dx

3) ∫x^2e^x3 dx

4) ∫(ln x)/x dx

Ce sont des équations ridicules certes, mais je ne comprends pas comment y appliquer l'intégration par substitution ou par partie, chaque tentative a échoué. Et s'il ne faut pas le faire, j'imagine qu'une formule pour ∫f(x)/g(x) dx et pour ∫f(x).g(x) dx me permettrait de résoudre tous ces exos.

Merci pour votre passage et vos éventuels éclaircissements.
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[Tryss]

1) Écrit sous la forme ax + b/x², et les deux termes sont faciles à intégrer
2) intègre deux fois par partie, en dérivant le x² (puis le x)
3) C'est de la forme u'*f'(u)
4) C'est de la forme u'*u

Et sinon, il n'y a malheureusement pas de formule générale pour l'intégrale d'un produit

[PlaneteF]

Et sinon, il n'y a malheureusement pas de formule générale pour l'intégrale d'un produit

Ou bien "heureusement", car sinon on s’ennuierait

[Tranross]

Merci pour votre aide.

J'ai réussi à trouver la bonne réponse pour les numéros 1 et 2

Je tourne en rond pour le reste. Je fais des intégrations par partie en abîme ou je me retrouve avec des résultats à la rien à voir. Comme par exemple ln^2 x+ 1/x pour le 4

Sinon le 3 me tue. Je ne vois vraiment pas comment le faire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

A quoi est égal [ f(g(x)) ]' ? (dérivée d'une fonction composée)

Et ce que tu vois le rapport avec les questions 3 et 4?

[Tranross]

Oui, je vois.

Pour la 3,

si on pose t=x^3

et dt=3x^2 dx

On a 1/3dt=x^2 dx et puis je trouve la bonne réponse. Merci j'essaye avec le numéro 4 maintenant

[Tranross]

Maintenant pour la n°4 [ f(g(x)) ]'= [ln(1/x)]'? Enfin je ne sais pas quoi poser comme t en fait

[lawliet yagami]

Salut,
Pour la 4 il n'y a pas besoin de substitution:
1)c'est quoi la dérivée de u^2 ?
2)ln(x)/x=ln(x)*(1/x)
or (1/x) est la dérivée de ln(x)

t'as ta réponse

[Tranross]

Oui, je séparais correctement l'équation pour avoir une forme f(x)*g'(x) et si je comprends bien, il faut appliquer l'intégration par parties mais j'ai la mauvaise réponse :-/

Si je fais

∫ln(x)*1/x dx

avec f(x)= ln(x)
g'(x)=1/x

J'ai ln(x)*ln(x) - ∫1/x*1/x

Et donc ln^2(x) - 1/x + c au lieu d'avoir ln^2(x)/2 +c

Et si je fais

f(x)=1/x
g'(x)=ln(x)

J'ai 1/x*(x*ln(x)-x) - ∫ln^2(x)

Ensuite

= 1/x*(x*ln(x)-x) - ( x*ln^2(x) - ∫2 ln(x)*1)

= 1/x*(x*ln(x)-x) - ( x*ln^2(x) - 2∫ln(x)*1) (je peux passer le 2 en dehors de l'intégrale quand même?)

= 1/x*(x*ln(x)-x) - ( x*ln^2(x) - 2*(x*ln(x)-x))

= 1/x*(x*ln(x)-x) - ( x*ln^2(x) - 2x*ln(x)-2x))

= 1/x*(x*ln(x)-x) - x*ln(x)*( ln(x)-2)+2x et là je bloque

je ne sais pas en fonction de quoi définir f(x) et g'(x) et comment je sais que la première proposition est fausse? (sans avoir la réponse finale) J'ai vraiment l'impression de jouer à la roulette russe quand je fais des intégrales :-/

[PlaneteF]

Oui, je séparais correctement l'équation pour avoir une forme f(x)*g'(x) et si je comprends bien, il faut appliquer l'intégration par parties mais j'ai la mauvaise réponse :-/

Si je fais

∫ln(x)*1/x dx

avec f(x)= ln(x)
g'(x)=1/x

J'ai ln(x)*ln(x) - ∫1/x*1/x

Et donc ln^2(x) - 1/x + c au lieu d'avoir ln^2(x)/2 +c

Et si je fais

f(x)=1/x
g'(x)=ln(x)

J'ai 1/x*(x*ln(x)-x) - ∫ln^2(x)

Ensuite

= 1/x*(x*ln(x)-x) - ( x*ln^2(x) - ∫2 ln(x)*1)

= 1/x*(x*ln(x)-x) - ( x*ln^2(x) - 2∫ln(x)*1) (je peux passer le 2 en dehors de l'intégrale quand même?)

= 1/x*(x*ln(x)-x) - ( x*ln^2(x) - 2*(x*ln(x)-x))

= 1/x*(x*ln(x)-x) - ( x*ln^2(x) - 2x*ln(x)-2x))

= 1/x*(x*ln(x)-x) - x*ln(x)*( ln(x)-2)+2x et là je bloque

je ne sais pas en fonction de quoi définir f(x) et g'(x) et comment je sais que la première proposition est fausse? (sans avoir la réponse finale) J'ai vraiment l'impression de jouer à la roulette russe quand je fais des intégrales :-/

Ou là là, ... mais dans quoi tu t'embarques là

Pose tout simplement ... puis 1 ligne de calcul, et c'est terminé !

[Tranross]

Salut,
Pour la 4 il n'y a pas besoin de substitution:

Si je lis qu'il n'y a pas de substitution, je ne pose pas de t

Sinon si t=ln x et 1/x dx=dt

Et donc ∫t dt = ln^2(x)/2 Halleloujah!

Mais j'ai un autre petit souci avec une opération d'intégrales définies :s. Trop courte pour que je pose un autre sujet.

Donc j'ai une intégrale définie comme suit:



( je n'arrive pas à insérer (-1) au lieu de 1, si quelqu'un aurait l'amabilité de me conseiller un autre code. Pour l'instant, admettons qu'elle aille de 0 à -1)

Ce qui me donne le résultat suivant: e^x*(x-1)

Et là je me trompe.

F(b)= -2/e

F(a)= 1

F(b)-F(a)=

Alors que la correction m'indique

Très ridicule je l'avoue.

[PlaneteF]

Si je lis qu'il n'y a pas de substitution, je ne pose pas de t

Ce que voulait dire lawliet yagami, c'est que l'on peut voir directement que et puisqu'une primitive de est , on obtient directement le résultat.

Et donc ∫t dt = ln^2(x)/2 Halleloujah!

N'oublie pas la constante !

( je n'arrive pas à insérer (-1) au lieu de 1, si quelqu'un aurait l'amabilité de me conseiller un autre code.

Il suffit de mettre -1 entre accolades.

Ce qui me donne le résultat suivant: e^x*(x-1)

Et là je me trompe.

F(b)= -2/e

F(a)= 1

F(b)-F(a)=


Alors que la correction m'indique

Très ridicule je l'avoue.

Refais juste ton calcul attentivement.

[Tranross]

D'accord merci infiniment.

Pour ma défense, je n'ai pas reçu la formule u*u'. Surement parce que l'on peut trouver la réponse par substitution.

Et s'il est question de l'intégrale définie, j'ai inversé les a et les b dans mes notes, ce qui m'a fait faire F(a)-F(b) au lieu de F(b)-F(a).

Merci pour toute votre aide, je ferai mieux de faire plein d'exos supplémentaires !

[breukin]

Sans ça, comme exercice instructif, on pouvait très bien intégrer par parties :

donc
Ici et

[PlaneteF]

Pour ma défense, je n'ai pas reçu la formule u*u'. Surement parce que l'on peut trouver la réponse par substitution.

Je pense que tu n'as pas bien compris le message#8 de lawliet yagami qui consistait à dire que, justement, ici, il n'y a pas nécessairement besoin d'une quelconque formule sur les intégrales ou de faire explicitement une substitution, puisqu'en remarquant que la fonction à intégrer est de la forme et que si l'on rapproche cela de la formule connue (qui pour le coup est une formule que tu as vu dans le chapitre sur les dérivées​, pas sur les intégrales), et bien on trouve le résultat immédiatement !


Cordialement