Passage au quotient dans une algèbre

[invite855de8be]

Bonjour,

Si A est un anneau et I un idéal de A, on sait que A/I est un anneau.

Mais si A est, mieux encore, une algèbre... a-t-on encore une structure d'algèbre sur A/I ?

Merci à vous
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[Seirios]

Bonsoir,

Pour donner une structure naturelle (on peut toujours imaginer une manière tordue pour que A/I soit dans tous les cas une algèbre), on définir ; mais pour que cette définition soit bien posée, il est nécessaire que , et plus généralement que , où K est le corps sur lequel l'algèbre est considérée.

[Médiat]

Bonjour,

Attention, je me permets d'ajouter à l'explication de Seirios que quand il écrit , cela veut dire (en tout état de cause c'est ainsi que je le comprends) que , (j'aurais plutôt écrit )

Je vois un exemple :
A = algèbre des polynomes
I = Idéal des polynômes tels que tous les monômes de degré inférieur ou égal à n sont nuls
Le quotient est bien une algèbre

[invite855de8be]

Merci pour vos réponses. Existe-t-il un contre-exemple ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[toothpick-charlie]

dans une algèbre B associative et unitaire sur l'anneau A, si I est un idéal bilatère, a un élément de A et i un élement de I, 1 l'unité de B, tu peux écrire ai = a(1i) = (a1)i et donc ai est dans I. Pour construire un contre-exemple il faut une algèbre soit non associative, soit ne possédant pas d'unité (ou les deux).

[invite855de8be]

Merci beaucoup !