Simple question sur les espaces normés

[dalfred]

Bonjour,

En feuilletant mon cours je m'aperçois que je n'ai pas compris une chose essentielle (qui va vous semblez bete), pourquoi
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[Seirios]

Bonjour,

C'est juste une notation, pourquoi y aurait-il quelque chose d'essentielle ?

[dalfred]

comment ca une notation, d'ou viennent ces formules

[Seirios]

Et bien on définit la norme par . Quelle définition donnerais-tu à sinon ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[dalfred]

Je sais pas je n'y ai pas réfléchi mais ca semble pas evident, y a t-il une preuve de cette notation ou quelque chose de convainquant pour le montrer

[Seirios]

Je ne suis pas sûr de te suivre : tu voudrais une preuve d'une définition ? Pour prouver quelque chose, il faut d'abord définir de quoi l'on parle, donc tu ne peux pas faire de démonstration sans au préalable définir , et si tu définis la norme comme valant , alors il n'y a rien à montrer.

[dalfred]

Oui mais pourquoi on définit

[Seirios]

Si l'on note (où est une fonction continue), alors . Donc cela justifie l'utilisation d'un dans la notation. Cela te convient-il ?

[dalfred]

Non puisque du coup je réitère ma question pour (pourquoi a-t-on cette égalité)

[Seirios]

Je dirais que la notation vient des familles p-sommables (c'est-à-dire des familles telles que ) ; par "passage au continu", on s'intéresse aux fonctions telles que . On ajoute ensuite une puissance 1/p pour obtenir une norme, et l'on ajoute un p en indice simplement pour préciser la dépendance en p.

[Tryss]

Non puisque du coup je réitère ma question pour (pourquoi a-t-on cette égalité)

Parce que c'est comme ça qu'on a défini la norme, par analogie avec les normes des suites :





Et si on a défini ça de cette façon, c'est que c'était une définition qui donnait des choses interessantes

[dalfred]

Merci de votre réponse, mais ca reste assez floue cette définition, on dirait que cette égalité est tombée du ciel, bizarre qu'il n'y ait pas plus détails là dessus puisqu'on écrit des choses sans savoir pourquoi, qui a inventé ça ?

[dalfred]

J'ai envie de dire pourquoi on définit ca comme ca et pas autrement, au final il n'y a rien de logique

[invite76543456789]

Mais de quoi tu parles? Il y a rien dans cette notation, c'est juste un choix d'ecriture, on a choisi de noter pour pouvoir les differencier entre elles, et se rappeler le p dont on parle, mais on aurait plus les noter comme on voulait, c'est juste un choix d'ecriture, aussi arbitraire que le choix de ton pseudo.

[dalfred]

Ben non, dans ce cas ca veut dire que tout est choisi arbitrairement, ce qui est totalement faux, certaines choses sont logiques, là non

[dalfred]

Mais passons, c'est pas grave je me contenterai de ca

[invite76543456789]

Est ce que ca te pose un souci qu'on ai choisi d'appeler la fontion sinus, précisément sinus, et pas tarte à la crème?
Tu vois qqch de profond la dedans?
Ben c'est la meme chose pour la norme p.

[dalfred]

Dans ce cas on aurait aussi pu dire :

[Seirios]

Mais dans ce cas, ce n'est plus une norme, tu perds la propriété .

[dalfred]

Mais est ce que est la seule forme verifiant les trois conditions ?

[Tryss]

Mais est ce que est la seule forme verifiant les trois conditions ?

Non, biensur que non, en témoigne la très vaste zoologie des espaces fonctionnels.

Par exemple, en prenant une fonction convexe, strictement croissante avec et

Alors en notant



C'est une norme.


Et ça peut être utile (ça contient entre autre les normes p)

[invite76543456789]

Ben, deja y en a pas qu'une puisqu'il y en a une pour tous les p. Et y en a d'autres en fait.

[dalfred]

Oui je m'en doutais, j'ai simplement demandé pour que vous affirmiez ce que j'avancais, c'est à dire qu'on pourrait definir autrement que par

[Tryss]

Oui je m'en doutais, j'ai simplement demandé pour que vous affirmiez ce que j'avancais, c'est à dire qu'on pourrait definir autrement que par

Tout comme on peut définir le mot "théière" pour vouloir dire autre chose qu'une théière... Et alors ?

[dalfred]

A la base je voulais juste savoir l'origine de cette égalité, voir pour quelles raisons on avait choisi ca, rien de plus...

[Seirios]

Pourquoi la définition de t'intriguerait-elle plus que celle de ?

[dalfred]

parce que j'ai repensé à un exercice avec mais c'est la meme chose avec l'autre égalité