Matrices

[invitefd3c8bd7]

Bonjour pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice s'il vous plaît?

Soit A et B les deux matrices:
A={1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1)
B={0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0}
et on a I4 la matrice unité d'ordre 4.

1)Donner 2 expressions de A² en fonction de B et de I4.
2)En déduire que B est inversible.

P.S: j'ai surtout besoin d'aide à la question 1 car je ne vois pas du tout comment faire. Et je me pose une question: B n'est elle pas égale à la matrice unité d'ordre 4 I4 ?

Merci d'avance pour votre aide.
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[homeya]

Bonsoir,

Je verrais bien A = B - I4 comme point de départ de la question 1 ...

Cordialement.

[invitefd3c8bd7]

je crois que A=B+I4 et donc A²=4(B+I4) pour une première expression mais pour une deuxième je ne vois pas trop, ce serait A²= (B+I4)² ?
Si ce sont bien les deux expressions de A², comment on déduit-on que B est inversible ?

[invitefd3c8bd7]

Selon les deux expressions de A², on a: 4(B+I4)=(B+I4)² équivaut à 4B+4I=B²+2BI+I².
Je crois que I²=I et 2BI=2B
Donc on aurait 4B+4I=B²+2B+I équivaut à B²-2B=3I équivaut à B(B-2)=3I équivaut à (B(B-2))/3=I donc la matrice est inversible.
On sait que dans ce cas Bxson inverse=I donc inverse de B=I/B= (B-2)/3.
Pouvez vous me confirmer ces résultats s'il vous plaît?

[A voir en vidéo sur Futura]

[homeya]

D'abord pardon le point de départ est bien A = B+I4. Ensuite, je suis d'accord avec ce raisonnement ( est bien l'inverse de B). Deux petites remarques:
a) on peut effectivement se permettre d’écrire (B+I)² = B²+2BI+I² car le produit de B avec I est commutatif (de manière générale (A+B)² = A² + AB + BA + B²)
b) il faut encore montrer que (ce qui est immédiat) pour conclure

[Seirios]

Bonjour,

Juste une remarquer sur les notations : généralement, on préfère écrire au lieu de pour les matrices.