Espaces normés

**dalfred** · 21/02/2013, 13h48

Bonjour,

Petit problème sur l'exercice suivant :

D'abord, énoncé : 1)Montrez que : pour tout $\text{[math]}$ alors :

$\text{[math]}$

(pour cela on pose : $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est choisi tel que $\text{[math]}$ ,
on montrera que :

$\text{[math]}$ et on appliquera le théorème de Rolle).

On montre facilement que $\text{[math]}$ , cependant ensuite pour appliquer Rolle (si mes souvenirs sont bons) il faut montrer que
$\text{[math]}$ pour dire qu'il existe un $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , mais ici on a pas $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ mais
$\text{[math]}$

Je ne comprends pas.
Merci de votre aide.

**Seirios** · 21/02/2013, 13h58

Bonjour,

Tu as en fait $\text{[math]}$ , à cause du terme $\text{[math]}$ .

**dalfred** · 21/02/2013, 14h04

pour k=0 on a $\text{[math]}$

**dalfred** · 21/02/2013, 14h06

ca fait pas un

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 21/02/2013, 14h10

Par convention dans les sommes, on pose $\text{[math]}$ . Le premier terme dans l'écriture $\text{[math]}$ est bien interprété comme étant égal à $\text{[math]}$ , qui vaut P(0).

**dalfred** · 21/02/2013, 14h15

Je ne comprends pas le "par convention.... ca fait un" j'ai jamais vu ca, $\text{[math]}$ ca n'existe pas en plus. En admettant que ca fait 1 on aura tjrs
$\text{[math]}$

**Seirios** · 21/02/2013, 14h22

Envoyé par dalfred

Je ne comprends pas le "par convention.... ca fait un" j'ai jamais vu ca, $\text{[math]}$ ca n'existe pas en plus.

Tu peux regarder ici pour en savoir plus : http://forums.futura-sciences.com/ma...nir-0-0-a.html.

En admettant que ca fait 1 on aura tjrs
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ .

**dalfred** · 21/02/2013, 14h24

ah oui c'est vrai du coup ca fait f(b)-f(b) j avais pas relu la formule

**dalfred** · 22/02/2013, 12h39

Ensuite, je dois montrer deux inégalités, ma première étant : $\text{[math]}$

Pour ca j'écris simplement la formule de Taylor Lagrange de $\text{[math]}$ qui donne : $\text{[math]}$ mais le soucis c'est qu'il me manque le terme

$\text{[math]}$

**dalfred** · 22/02/2013, 12h43

est ce une erreur sur ma feuille d'énoncé

Il y a écrit : $\text{[math]}$ mais il faudrait :

$\text{[math]}$

**Seirios** · 22/02/2013, 13h24

Tu as montré la première égalité pour tout $\text{[math]}$ ; l'exponentielle étant $\text{[math]}$ , tu peux utiliser l'égalité pour $\text{[math]}$ .

**dalfred** · 22/02/2013, 17h07

Dans ce cas on a : $\text{[math]}$ mais du coup pour c je prends quoi $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ entre 0 et 1 puis je majore.
Mais pour les valeurs absolues je les mets directement sans justifications ?
Je vois pas trop pourquoi on les mettrait, c'est pas bon juste : $\text{[math]}$

**dalfred** · 22/02/2013, 17h15

en fait c'est juste par rapport au signe de x ?

**dalfred** · 22/02/2013, 17h46

Autre question : quand n tend vers l'infini on a (je suppose) : $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ non ?

Si c'est ca comment montrer que $\text{[math]}$ tend vers 0, par equivalence avec stirling ?

**Seirios** · 22/02/2013, 17h52

Envoyé par dalfred

Dans ce cas on a : $\text{[math]}$ mais du coup pour c je prends quoi $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ entre 0 et 1 puis je majore.
Mais pour les valeurs absolues je les mets directement sans justifications ?
Je vois pas trop pourquoi on les mettrait, c'est pas bon juste : $\text{[math]}$

Tu as $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ . Il se trouve que sur $\text{[math]}$ , l'exponentielle est majorée par $\text{[math]}$ (puisqu'elle est croissante), donc tu as bien ton inégalité.

**Seirios** · 22/02/2013, 17h57

Envoyé par dalfred

Autre question : quand n tend vers l'infini on a (je suppose) : $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ non ?

Si c'est ca comment montrer que $\text{[math]}$ tend vers 0, par equivalence avec stirling ?

On a bien $\text{[math]}$ (tu as mis un $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$ ).

De manière générale, pour montrer que $\text{[math]}$ tend vers 0 (avec $\text{[math]}$ ), tu peux dire qu'il existe un entier $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ; donc $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ assez grand, et il ne reste plus qu'à conclure.

**dalfred** · 22/02/2013, 17h58

oui mais la on est dans le cas ou a=0 et b=x soit sur [0;x], c'est ca d'ailleurs que je ne comprends puisqu'on doit faire pour tout x mais pour que ca marche j ai du prendre a=0 et b=x puis ecrire la formule

**Seirios** · 22/02/2013, 18h01

En quoi est-ce un problème ?

**dalfred** · 22/02/2013, 18h05

En fait je n'ai pas compris pourquoi vous dites que $\text{[math]}$ alors que j'ai $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ doit etre dans $\text{[math]}$

**Seirios** · 22/02/2013, 18h08

C'est juste pour ne pas avoir à distinguer deux cas : si $\text{[math]}$ est positif, alors $\text{[math]}$ , et si $\text{[math]}$ est négatif, alors $\text{[math]}$ . On peut donc dire que, quelque soit le cas dans lequel on se trouve, $\text{[math]}$ , ce qui ne change de toute manière rien.

**dalfred** · 22/02/2013, 18h19

Mais alors est ce que on a pas toujours la meme inégalité ? puisque si $\text{[math]}$ alors on $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , en appliquant T-L on a (pour exp):

$\text{[math]}$ soit si on majore on remplace $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ et on a alors:

$\text{[math]}$

**dalfred** · 22/02/2013, 18h21

si je divise par $\text{[math]}$ c'est toujours différent

**dalfred** · 22/02/2013, 18h22

ah non peut etre pas puisque x est negatif

**dalfred** · 23/02/2013, 03h41

Ca donne la meme chose ?

**Seirios** · 23/02/2013, 11h30

Je n'avais pas fait attention à ce détail : dans la formule de Taylor-Lagrange, on ne se préoccupe de savoir si $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ . Cela dit, tu peux remarquer que dans la preuve que tu as faite, l'ordre entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ n'a aucune importance, donc l'égalité $\text{[math]}$ reste valide quelque soit le signe de $\text{[math]}$ .

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