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Pour en finir avec 0^0

  1. Médiat

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    août 2006
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    Pour en finir avec 0^0

    Pour en finir avec .


    Bien sur ce titre n’est qu’une accroche marketing, et je n’en finirai sans doute avec rien, mais si j’arrive à me faire comprendre par quelques uns ce ne sera déjà pas si mal.

    Remarque liminaire : les « objets » mathématiques et les relations qui les joignent ne se trouvent pas dans la nature, ce sont des définitions précises données par les mathématiciens, il n’est donc pas raisonnable de vouloir démontrer une définition ou une convention (qui n’est qu’une définition particulière), on peut, au mieux, les justifier.

    Chapitre 1
    Pré-requis admis : la multiplication des réels entre eux, la récurrence sur .

    Idée intuitive : créer une notation pour indiquer pour x un réel quelconque, et n un entier naturel non nul, qu'on a multiplié x, n fois par lui-même (on comprend bien que multiplier un nombre 0 fois par lui-même n’a pas de sens (1 fois pourrait être discutable, mais en disant « le produit de n facteurs égaux à x », la réserve n’as plus de raison d’être)).

    Définition mathématique (1) : on note le nombre défini par la relation de récurrence suivante :



    On voit rapidement qu’avec cette définition (), mais que n’est pas pris en compte par cette définition (donc n'existe pas), pas plus que d’ailleurs.
    Extensions possibles : on peut démontrer facilement (et c’est conforme à la définition intuitive) que , c'est-à-dire que l’application de dans définie par est un morphisme, et comme est un magma (associatif et commutatif), il s’agit donc d’un morphisme de magma (c'est-à-dire que si f est injective ( a les mêmes propriétés que est alors un isomorphisme). Une idée naturelle de prolongement est de passer de à , c'est-à-dire du magma au monoïde en ajoutant le 0.
    Au niveau intuitif, cela n’a pas beaucoup de sens (cf.supra).
    Au niveau de la définition mathématique(1), une très légère modification convient :


    On peut remarquer que poser est la solution la plus « économique » (elle ne nécessite aucune modification de la condition de récurrence).
    Au niveau du morphisme, c’est un peu plus compliqué : par définition du morphisme, il est obligatoire que l’image de l’élément neutre soit l’élément neutre. Pour x un réel différent de 0 et de 1, l’application est injective et l’image de ne contient pas 1 (normal pour un isomorphisme dont la source ne contient pas l’élément neutre), il n’y a donc pas le choix .

    Pour , l’image de est {1}, il n’y a donc aucun problème pour poser .
    Pour , l’image de est {0} (dont on peut remarquer que c’est un groupe multiplicatif dont l’élément neutre est 0 ), il me paraît donc possible de choisir ou , dans les deux cas la structure de monoïde (et même au-delà) est conservée (cependant, ils ne sont pas isomorphes) ; néanmoins il y a plusieurs arguments pour choisir :
    a) Cohérent avec les autres valeurs de x (argument faible).
    b) L’injection canonique du monoïde dans n’envoie pas l’élément neutre sur l’élément neutre (argument fort)

    Dans cette optique, il semble donc plus naturel de poser

    On peut se demander s’il est raisonnable d’envisager d’autres prolongements, les idées immédiates sont vers ou vers , malheureusement, dans ces deux cas, on perd complètement la définition intuitive et la définition par récurrence et comme on va retrouver la notion de morphisme dans le chapitre suivant, commençons celui-ci.


    Chapitre 2
    Pré-requis admis : , il existe un unique isomorphisme continu de groupe entre et , vérifiant , on notera l’isomorphisme réciproque. On admettra aussi un certain nombre de résultats analytiques concernant ces fonctions (continuité, dérivabilité, limites etc.).

    Digression : pour a = 0, il faudrait avoir , et donc , et donc ne serait pas injectif. Même chose et même démonstration pour a = 1, ce qui explique que ces deux cas soient exclus.

    On peut remarquer que pour un nombre entier n, (suivant la définition du chapitre 1) on peut aussi remarquer que par définition d’un morphisme de groupe.
    On peut donc généraliser cette notation et poser (d’autant plus que l’on peut démontrer que et autres résultats bien connus ; je cite cet exemple car il sera utile plus bas)

    Il va de soi qu’avec cette définition, une fois de plus, n’existe pas, cependant on a le droit de se poser des questions (c’est même souhaitable)

    1) L’application peut-elle être prolongée par continuité quand a tend vers 0 ?
    Pour , la seule façon de prolonger cette fonction constante par continuité est de poser

    Mais on peut compliquer un peu.
    2) L’application peut-elle être prolongée par continuité quand a tend vers 0 ?
    La démonstration dépasse le cadre de ce petit texte, car il faudrait étudier plus en détail les fonctions exponentielles, mais comme et , pour assurer la continuité il faut, à nouveau, poser

    Soyons fou (j'abandonne la notation , tout le monde à compris j'espère, et cela devient un peu lourd) :
    3) L’application peut-elle être prolongée par continuité quand a tend vers 0 ? (f et g sont des fonctions continues qui tendent vers 0 quand a tend vers 0).
    Exemple :

    Il est facile de voir que cette dernière fonction est en fait une constante (), que la seule façon de prolonger par continuité est de poser (et en fait on peut choisir n’importe quel réel (et dans on peut même aller plus loin)).

    Si on a le choix, ce cher Ockham nous conseille de nous raser de près et de choisir pour f et g les fonctions les plus simples possibles :
    f(x) = 0 ; g(x) = x impossible n’existe pas
    f(x) = x ; g(x) = 0 (c’est le cas 1) donne
    f(x) = x ; g(x) = x (c’est le cas 2) donne

    On voit donc que le plus raisonnable est de poser


    Chapitre 3
    Pré-requis : connaissance d’un peu de théorie des ensembles.
    D’une façon générale, pour deux ensembles donnés et , il existe un ensemble de toutes les applications de dans (ce point nécessiterait une connaissance de ZF plus précise), ce nouvel ensemble, je vais le noter en attendant mieux.

    Pour des ensembles finis non vides et le cardinal de est justement , au sens du chapitre 1, ce qui explique la notation .
    Que se passe-t-il en particulier quand l’un voire, les deux ensembles sont vides ?
    (démonstration laissée au lecteur, elle est sans problème par récurrence)
    (dans une application, il faut associer un élément de l’ensemble d’arrivée à chaque élément (et il en existe) de l’ensemble de départ, comme l’ensemble d’arrivée est vide, c’est impossible, il n’existe donc pas telles applications)
    (un peu plus subtile : comme l’ensemble de départ est vide, il n’y a rien à associer, et comme il n’y a qu’une façon de ne rien faire, le nombre d’application est 1)
    (exactement le même raisonnement que ci-dessus, voir un peu plus d’explications ci-dessous)

    La définition formelle d’une application entre deux ensembles est :
    Soit et deux ensembles finis, une application de vers est un sous-ensemble de vérifiant :
    .

    Si est vide est vide, et l’ensemble vide (dans le rôle de ) vérifie bien l’axiome ci-dessus, l’ensemble vide est donc bien une application de dans , et c’est évidemment la seule.

    Ici, il n’y a donc aucune ambiguïté (ni aucune convention à ajouter à la définition générale) : .

    Pour conclure, on peut remarquer que les trois définitions ci-dessus sont compatibles pour les domaines communs, que seule la troisième contient intrinsèquement la définition de , que les deux autres définitions trouvent un prolongement naturel (plus naturel en tout cas) en posant, par convention, .

    PS : désolé pour les 2000 fautes de frappes qui doivent rester.

    -----

    Dernière modification par obi76 ; 12/04/2013 à 16h16. Motif: Correction latex
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     


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  2. homotopie

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    Re : Pour en finir avec 0^0

    très bon résumé, papa.
     

  3. rvz

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    janvier 2006
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    Versailles
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    Re : Pour en finir avec 0^0

    Tout à fait d'accord avec homotopie. Ce bilan est extrèmement pertinent et bien écrit (d'ailleurs, ça mériterait peut-être d'être rajouter à la bibliothèque des mathématiques ou les classiques).

    En tout cas, si tu as une page web, n'hésite pas à mettre ça dessus, je pense que ça intéresse beaucoup de gens qui sont dérangés par cette convention.

    Bref, en un mot, merci et bravo

    __
    rvz, qui ne sait pas compter, mais qui apprécie énormément ce 'bilan'.
     

  4. Gwyddon

    Date d'inscription
    octobre 2004
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    Re : Pour en finir avec 0^0

    Excellent travail, à la fois pédagogique et divertissant

    Sinon ça va rvz ? ça faisait un moment que l'on ne t'avait pas vu
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.
     

  5. Médiat

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    août 2006
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    Re : Pour en finir avec 0^0

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    En tout cas, si tu as une page web, n'hésite pas à mettre ça dessus, je pense que ça intéresse beaucoup de gens qui sont dérangés par cette convention.
    C'est très gentil, mais je n'ai pas de page web.

    J'en profite pour demander s'il était possible à un modérateur de faire une petite modification et remplacer
    L’injection canonique du monoïde
    par
    L’injection canonique du monoïde

    (J'ai oublié les \ devant les { en latex )

    C'est fait
    Dernière modification par Gwyddon ; 13/09/2007 à 17h54.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     


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  6. rvz

    Date d'inscription
    janvier 2006
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    Versailles
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    Re : Pour en finir avec 0^0

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    C'est très gentil, mais je n'ai pas de page web.
    Non, c'est juste honnête....


    @Gwyddon Ben, faut pas oublier les vacances, le manque de réseau, tout ça. Mais rassure toi (ou pas), bientôt j'aurai un vrai réseau et je reviendrai probablement plus souvent fare un tour sur le forum, ça me manque. Tant que j'y suis, j'en profite pour remercier les modos de leur super job (on oublie si souvent de le dire...)


    __
    rvz, almost back
     

  7. Ledescat

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    janvier 2007
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    4 541

    Re : Pour en finir avec 0^0

    En espérant que cela mette les points sur les i...
    Cet article est à mettre en référence, notemment sur les questions les plus posées.

    Merci Médiat.
    Cogito ergo sum.
     

  8. Ksilver

    Date d'inscription
    novembre 2005
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    Re : Pour en finir avec 0^0

    C'est interessant et pédagogique.

    en ce qui me concerne c'est toujours l'argument 3, qui ma le plus convaincu (... en allant jusqua le prendre comme définition de m^n ...)

    je ferai quand meme deux petite remarque :
    - je trouve l'argument dévelopé dans le chapitre 2 'un peu malhonete', tous ce qu'on y montre c'est que '0^0' est une forme indéterminé, a laquel on peut donner la valeur qu'on veut. n'est ce pas un peu déplacé de s'appuier la dessu pour dire que "puisque avec certaines fonctions (bien choisit) pas trop moche on trouve 1, alors autant le prendre comme convention" ? enfin la c'est un point de vue personelle, peut-etre que d'autres trouveront cette argument convainquant ^^

    -je tiens tous de meme à insister que ce fameux 0^0=1 n'est qu'une bete convention, adopté par certains auteurs histoire de ne pas avoir à écrire une formule partciliere pour le cas particulier n=0 exactement de la meme facon que certains auteurs ont parfois utilisé la convention 0*l'infinit = 0 pour simplifier l'écriture de certaines formule (qui au fond est tous autant une forme indéterminé que 0^0... mais je défi quiconque de trouvé une justification objective de cette convention ! )
     

  9. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    16 951

    Re : Pour en finir avec 0^0

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    en ce qui me concerne c'est toujours l'argument 3, qui ma le plus convaincu (... en allant jusqua le prendre comme définition de m^n ...)
    Néanmoins cette définition ne permet pas de donner un sens à (les applications d'un ensemble à 1/2 élément dans un ensemble à deux éléments ? )

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    tous ce qu'on y montre c'est que '0^0' est une forme indéterminé, a laquel on peut donner la valeur qu'on veut.
    C'est bien ce que je voulais montrer, que le choix te paraisse malhonnête, pourquoi pas, mais pas moins que n'importe quel choix arbitraire, et ne serait-ce que par compatibilité avec le chapitre 3 que tu trouves convaincant, ce choix me paraît le meilleur.

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    je tiens tous de meme à insister que ce fameux 0^0=1 n'est qu'une bete convention
    Justement non, pas pour le chapitre 3, et comme ce résultat est compatible avec les "conventions les plus naturelles" des deux autres chapitres, cela me paraît une justification objective.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  10. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Pour en finir avec 0^0

    Après relecture des objections de Ksilver, je m’aperçois qu’elles sont parfaitement légitimes et que quelques points méritent d’être clarifiés. J’en profite pour préciser que dans le post précédent, lorsque je répond « non justement » à la remarque « n'est qu'une bête convention », ce n’est pas le mot convention qui me gêne, mais l’adjectif bête .
    D’abord, les trois chapitre ne sont pas trois points de vue sur un même objet mathématique, mais bien trois objets mathématiques différents, il ne serait donc pas révoltant d’utiliser trois notations différentes, on peut cependant noter que sur leur domaine commun ces trois objets prennent les mêmes valeurs. Pour être précis a du sens pour les trois chapitres si , et (il me semble que pour y on peut choisir , la deuxième définition par récurrence du chapitre 1 donnant du sens à y = 0, et y = 0 ayant du sens pour les deux autres définitions), et non seulement les trois définitions ont du sens mais les résultats numériques sont identiques (c’est bien pour cela que la même notation est utilisée).
    Pour convaincre que nous avons bien trois objet différents, on peut remarquer que
    1) n’a de sens que pour la définition 1 ;
    2) n’a de sens que pour la définition 2 ;
    3) n’a de sens que pour la définition 3.

    Curiosité à ne pas oublier : ne veut rien dire au sens du chapitre 2 ( n’est pas un isomorphisme).
    Pour me recentrer sur
    Au sens du chapitre 1 : avec la première définition par récurrence n’existe pas, la deuxième récurrence justifie pleinement que , on peut choisir de voir cela soit comme une convention naturelle à partir de la première définition, ou comme une partie intégrante de la deuxième définition.
    Au sens du chapitre 2 : n’existe pas, il est possible de justifier toutes les valeurs (réelles et même au delà), le choix est donc une pure (mais pas une bête ) convention, justifiée imparfaitement (et non malhonnêtement re- ) par des considérations de simplicité et beaucoup plus objectivement par la compatibilité avec les autres définitions.
    Au sens du chapitre 3 : sans aucune discussion possible, cela n’a rien de conventionnel.

    Pour insister un peu : quand on écrit , rien n’indique que l’on utilise une définition plutôt qu’une autre (et cela n’a pas d’importance), mais quand on écrit , seule la première définition peut donner du sens à cette écriture.

    J’ai cité 3 objets mathématiques, je ne doute pas que l’on pourrait en trouver d’autres (un exemple simple serait de considérer la fonction (en choisissant bien le domaine) , avec des définitions idoines pour les fonctions exp et ln (par les séries entières par exemple) qui donne du sens à , contrairement à la définition du chapitre 2, alors qu'elle en est très proche).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  11. Gwyddon

    Date d'inscription
    octobre 2004
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    Messages
    18 609

    Re : Pour en finir avec 0^0


    Bonjour,

    Juste un petit message pour vous informer que cette discussion a été rendue "Importante", donc accessible en haut du forum à chaque instant

    G.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.
     

  12. Ksilver

    Date d'inscription
    novembre 2005
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    30
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    1 888

    Re : Pour en finir avec 0^0

    en fait, je me base beaucoup sur le parralèle avec la convention 0*infinit = 0 (ou la trouve dans certain ouvrage, notemant pour construire une théorie de l'intégral, par exemple dans le célèbre Rudin - real and complexe analysis). bien qu'elle parraissent un peu plus 'choquante', elle peut aussi avoir une justification ensembliste :

    si on définit m*n par la fomule : cardE * card F = card (E*F), vu que le produit de vide par un ensemble infinit est vide, 0*infinit = 0. et c'est en ce sens que je la trouve tous fait identique au 0^0=1

    cependant tous le monde sera d'accord pour dire que cette convention est tous a fait contestable, et qu'elle na été prise que parceque ca arrangé les auteurs de certains livres, en simplifiant les formules (ca évitais de traiter a part le cas d'une fonction nul sur un ensemble de mesure infinit...).

    bref tous ca pour dire que c'est pas parcequ'on peut donner quelque chose qui ressemble a une justification théorique que 0^0=1 que ca donne a cette formule une statue plus vrai que la "bete convention" prise pour simplifier l'écriture d'une formule


    d'ailleur, j'aurais aimé trouvé un exemple d'ouvrage ou de formule ou une autre convention est prise (ou on aurait posé 0^0=0 par exemple...) pour illustrer ceci... mais je ne suis pas parvenu à en trouver (ce qui est effectivement un peu troublant ^^ )
     

  13. Beverycool

    Date d'inscription
    décembre 2007
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    49
    Messages
    7

    Re : Pour en finir avec 0^0

    Un article intéressant et très accesssible est consacré à ce sujet dans le numéro d'Octobre-Décembre 2007 d'une revue mathématique. Il n'est malheureusement pas disponible en ligne. Au programme, le point de vue ensembliste qui aboutit à 1 ( type chapitre 3), le point de vue algébrique qui entraine l'obligation d'une convention ( type chap 1), le point de vue topologique en utilisant une fonction à 2 variables f(x,y)=xy qui aboutit à une forme indéterminée car le résultat dépend de la façon dont on fait tendre x et y vers 0 et l'approche graphique des courbes " xy=k" au voisinage de (0,0) qui ne nous renseignent guère plus et nous laissent visuellement avec l'idée intuitive d'indétermination.
    La conclusion de l'article donne la réponse 00=1 comme dépassant la simple convention car elle transporte avec elle des avantages de simplicité et de simplification des calculs mais une mise en garde est donnée par l'utilisation de cette valeur sans se préoccuper du contexte et en particulier dans les comportements locaux autour des points singuliers.
     

  14. ulrich richarovitch

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    65

    Re : Pour en finir avec 0^0

    0^0 ègal 1.
     

  15. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 334

    Re : Pour en finir avec 0^0

    Citation Envoyé par ulrich richarovitch Voir le message
    0^0 ègal 1.
    Quelle affirmation péremptoire et sans appel !!!
     


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