Pour en finir avec 0^0

**Elie520** · 22/03/2010, 18h43

Bonjour, je ne suis qu'étudiant de terminale, mais j'aime les maths =) Donc j'ai lu vos discussions, et je n'ai pas toujours tout compris je l'avoue, j'espère donc ne pas parler inutilement, auquel cas pardonnez-moi s'il vous plait ^^
Moi j'ai juste un problème avec cette "convention" possible comme quoi 0⁰ serait égal à 1, il est le suivant.

Pour tout x positif et pour tout y réel, on a bien x^y=e^y*ln(x), or je ne vais pas vous apprendre que la fonction ln est définie pour les réels strictement positifs. Ainsi, 0⁰ resterait selon ce raisonnement indéfinissable.
En revanche, si nous voulions forcer une convention, on admettrait que la limite quand x tend vers zéro de y*ln(x) est moins l'infini, et que par conséquent, la limite quand x tend vers zéro de x^y=e^y*ln(x) serait 1. D'ou pour tout y réel, on aurait 0^y=1, ce qui n'est pas le cas...

Ce raisonnement me perd complètement.... ! Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait gentil !!!

**Médiat** · 22/03/2010, 19h02

Envoyé par Elie520

Pour tout x positif et pour tout y réel, on a bien x^y=e^y*ln(x), or je ne vais pas vous apprendre que la fonction ln est définie pour les réels strictement positifs. Ainsi, 0⁰ resterait selon ce raisonnement indéfinissable.

C'est pourquoi la méthode utilisée est le prolongement par continuuité.

Envoyé par Elie520

En revanche, si nous voulions forcer une convention, on admettrait que la limite quand x tend vers zéro de y*ln(x) est moins l'infini

Non, cela dépend de y, par exemple si y = x, la limite vaut 0 et non -∞. Si vous relisez le post N° 1, vous verrez un exemple où la limite est e^-1.

**Elie520** · 22/03/2010, 19h29

ah merci, et désolé, bien vu pour le x*ln(x) tend vers zéro quand x tend vers zéro. Désolé pour cette pollution

invite06622527 · 13/04/2010, 06h39

Boujour,

je viens de voir sur un autre forum un exemple de question dans laquelle 0^0 apparaît.
Il serait sans grand intérêt de recopier toute la discussion (où l'on retrouve les poncifs habituels et les délires que 0^0 suscite parfois).
Toutefois, à l'occasion de cette discussion, un internaute a posé une question qui me semble bien illustrer l'un des genres de problèmes qui sont rencontrés avec 0^0.
La page jointe montre les copies d'écran concernant uniquement le petit problème posé marginalement à l'occasion de la discussion et la réponse donnée.

**Armen92** · 22/05/2010, 10h45

Envoyé par JJacquelin

La page jointe montre les copies d'écran concernant uniquement le petit problème posé marginalement à l'occasion de la discussion et la réponse donnée.

Bonjour,
Merci d'avoir trouvé ce petit exemple, mais où est le problème ?
La limite en question est visiblement $\text{[math]}$ , et s'obtient par les moyens élémentaires à utiliser quand on est face à une forme indéterminée.
Quoi d'autre ?

invite983da0cb · 31/05/2010, 16h34

excellent travail je trouve ca très académique

invite06622527 · 16/09/2010, 13h09

Le lien a changé pour accéder à l'article "Zéro puissance zéro". Le nouveau lien est:
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

**Seirios** · 26/09/2010, 14h34

J'aurais trois petites questions sur le message original (en espérant qu'elles n'aient pas déjà été posées (je n'ai pas encore lu les pages qui suivaient

)) :

Pour le chapitre 1 :

Envoyé par Médiat

Pour $\text{[math]}$ , l’image de $\text{[math]}$ est {1}, il n’y a donc aucun problème pour poser $\text{[math]}$ .

N'y a-t-il pas également $\text{[math]}$ comme possibilité, tout comme pour $\text{[math]}$ , pour conserver la structure de monoïde sur $\text{[math]}$ ?

b) L’injection canonique du monoïde $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ n’envoie pas l’élément neutre sur l’élément neutre (argument fort)

Je n'ai pas vraiment compris l'argument : quelle est cette injection exactement ?

Pour le chapitre 3 :

La définition formelle d’une application entre deux ensembles est :
Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux ensembles finis, une application de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ est un sous-ensemble $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ vérifiant :
$\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ est vide $\text{[math]}$ est vide, et l’ensemble vide (dans le rôle de $\text{[math]}$ ) vérifie bien l’axiome ci-dessus, l’ensemble vide est donc bien une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , et c’est évidemment la seule.

Il n'y a pas un problème lorsque $\text{[math]}$ ? (à cause du $\text{[math]}$ )

**Médiat** · 26/09/2010, 15h15

Bonjour,

Envoyé par Phys2

Pour le chapitre 1 :

N'y a-t-il pas également $\text{[math]}$ comme possibilité, tout comme pour $\text{[math]}$ , pour conserver la structure de monoïde sur $\text{[math]}$ ?

L'image est {1}, choisir 0⁰ = 0 modifierait l'ensemble d'arrivée.

Envoyé par Phys2

Je n'ai pas vraiment compris l'argument : quelle est cette injection exactement ?

L'identité sur l'ensemble de départ.

Envoyé par Phys2

Pour le chapitre 3 :
Il n'y a pas un problème lorsque $\text{[math]}$ ? (à cause du $\text{[math]}$ )

Non, puisque ce "Il existe" est précédé d'un "pour tout x" qui appartient à l'ensemble vide.
Lorsque vous avez un doute sur la validité d'une proposition quantifiée sur l'ensemble vide, pensez à envisager son contraire, par exemple
$\text{[math]}$

Si x est l'ensemble vide, il est clair que le membre de droite est "Faux".

**Seirios** · 26/09/2010, 18h47

L'image est {1}, choisir 0⁰ = 0 modifierait l'ensemble d'arrivée.

Et c'est gênant ?

**Médiat** · 26/09/2010, 18h52

C'est difficile de parler d'un morphisme vers un ensemble si l'ensemble d'arrivée n'est pas l'ensemble vers lequel on veut établir un morphisme.

**Seirios** · 26/09/2010, 19h09

Je ne vois pas vraiment, j'ai dû manquer une étape dans le raisonnement : On a définit $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ , et on a étendu $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ ; on cherche donc à étendre $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ , et pour cela, on souhaite que $\text{[math]}$ soit un morphisme de monoïdes entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ , donc si on pose $\text{[math]}$ , on a bien ce que l'on cherche.

Pourtant, il me semble que c'est bien encore le cas si on décidait de poser $\text{[math]}$ ; dans ce cas $\text{[math]}$ serait bien un morphisme de monoïdes entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Qu'est-ce qui m'échappe ?

**Médiat** · 27/09/2010, 04h55

J'avais mal compris ce que vous vouliez dire, mais le morphisme c'est entre $\text{[math]}$ .

Si vous posez $\text{[math]}$ , cela veut dire que l'image de l'élément neutre (0 pour l'addition dans IN), n'est pas l'élément neutre (dans $\text{[math]}$ ), et donc qu'il ne s'agit pas d'un morphisme.

**Seirios** · 27/09/2010, 08h34

D'accord, merci

**jacovador** · 23/10/2010, 20h55

Excellent !
Merci pour cette explication des 3 "objets" n^m

invite1a12d265 · 22/11/2010, 11h27

Merci bravo!!!* Cette question me turlupinait...

invite30436fee · 26/02/2011, 16h21

J'ai aussi une preuve convaincante pour les yeux que 0^0 = 1 :

invite06622527 · 26/02/2011, 16h53

Bonjour digimag,

tout le monde est d'accord que x^x tend vers 1 lorsque x tend vers 0. Mais ce n'est pas là que le problème se pose.
Pouvez-vous répondre à cette question :
Quelle est la (ou les) limite(s) de x^y lorsque x et y tendent tous deux vers 0 sans qu'il y ait de relation entre x et y (ou selon qu'il y ait des relations diverses entre eux) ?
En fait, on montre alors que, selon les cas, on peut trouver des limites très variées. Et que le cas où la limite est 1 , n'est qu'un cas particulier.
Avez-vous bien lu l'excellent texte de Médiat (au début de ce topic) ?
Ou encore l'article "ZERO PUISSANCE ZERO" paru dans le journal "Quadrature" et également accessible par le lien :
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents
Dans cet article, il y a une figure constituant l'une des nombreuses preuves convaincantes que 0^0 peut prendre n'importe quelle valeur de 0 à l'infini.

invite06622527 · 26/02/2011, 22h21

Excusez l'horrible lapsus dans la première phrase de mon message précédent, qui bien évidemment aurait du être ceci :
<< tout le monde est d'accord que x^x tend vers 1 lorsque x tend vers 0. >> etc.
Si cette faute de frappe peut être corrigée par le gestionnaire du forum, merci par avance.

C'est fait.

invite06622527 · 03/06/2011, 18h20

Qui espère en finir avec 0^0 ?

Nouvelle apparition du serpent de mer (Pour ceux qui veulent rire une fois encore à cette occasion) :
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=502604

invite06622527 · 02/01/2012, 07h20

Qui espère en finir avec 0^0 ?

Et une de plus !
http://www.mymathforum.com/viewtopic.php?f=40&t=26038

**diego45** · 06/01/2012, 06h56

La partie proba stochastique de la bibliotheque ne fonctionne qui contacter ?
merci

invitedc72a11a · 18/01/2012, 13h43

Bonjour,

Si j'ai bien compris sans convention 0^0=indéterminé
y a il un rapport avec le Théorèmes d'incomplétude de Gödel ?
Aucun théorie n'est complète car dans toute théories il y a au moins une proposition indécidable

**Médiat** · 18/01/2012, 14h47

Bonjour,

Envoyé par pastriste1

Si j'ai bien compris sans convention 0^0=indéterminé

Non, dans certain domaine c'est parfaitement determiné et d'en d'autres ce n'est pas défini.

Envoyé par pastriste1

y a il un rapport avec le Théorèmes d'incomplétude de Gödel ?

Aucun

Envoyé par pastriste1

Aucun théorie n'est complète car dans toute théories il y a au moins une proposition indécidable

Non, ceci n'est pas le théorème de Gödel.

**Elessog** · 16/02/2012, 16h12

Envoyé par Médiat

Pour en finir avec $\text{[math]}$ .

Définition mathématique (1) : on note $\text{[math]}$ le nombre défini par la relation de récurrence suivante :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Au niveau de la définition mathématique(1), une très légère modification convient :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
On peut remarquer que poser $\text{[math]}$ est la solution la plus « économique » (elle ne nécessite aucune modification de la condition de récurrence).

entre ces deux définition je pense que vous y avez oublier un petit changement:
Dans la deuxième définition on oublie le cas $\text{[math]}$ on devrait donc dire $\text{[math]}$

**Médiat** · 16/02/2012, 16h55

C'est exact, je corrige.

Merci

invitedc72a11a · 07/03/2012, 14h32

Envoyé par Médiat

Non, ceci n'est pas le théorème de Gödel.

et comme ça ?
Aucun théorie n'est complète car dans toute théorie se disant complète il y a au moins une proposition indécidable

**Médiat** · 07/03/2012, 19h31

Envoyé par pastriste1

et comme ça ?
Aucun théorie n'est complète car dans toute théorie se disant complète il y a au moins une proposition indécidable

Bonsoir,

Non, pas du tout, il existe des tas de théorie complètes, qui, par définition ne comprennent pas de proposition indécidables.

Vous pouvez voir le théorème de Gödel dans wikipedia ou ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3879760

godzylla · 15/03/2012, 10h12

sans geometrie tout cela ne veut rien dire
http://forums.futura-sciences.com/ma...-deuclide.html

**Gwyddon** · 15/03/2012, 10h19

Bonjour godzylla,

Je vous suggère d'ouvrir un livre de mathématiques pour vous rendre compte qu'il existe d'autres branches des mathématiques que la géométrie. En fait, je vous suggère de prendre votre temps pour commencer à faire vraiment des mathématiques (car pour l'instant, je dois vous l'avouer, vous me paraissez avoir un niveau relativement peu élevé en la matière), vous verrez c'est passionnant !

Cordialement,

G.

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