Pour en finir avec 0^0

[invite9321657]

La puissance est définit par la multiplication, hors puissance 0 c'est l'absence de multiplication.. l'élément neutre de la multiplication c'est 1.
Ecrire 0^0, c'est dire j'ai appliqué 0 fois la multiplication par 0 : c'est donc qu'on n'a pas appliqué la multiplication par 0 et donc que ça fait l'élément neutre 1.

On pourrait dire aussi que
x^0 est définit par x^1 * x ^-1 = x/x = 1

On tombe alors sur le probléme 0 / 0

Et là, on se rend compte que le problème f/g se pose surtout quand f est différent de g.. en effet :

lim (f / f) pour f->0 = 1

Il devient raisonnable d'extrapoler les infinis à partir de la limite (et ici 0 devient un infini)..

Ce qui étonne c'est la forme de la fonction (0^x) pour laquelle on aurait
x dans {R*}=>0 et 0 =>1

Ca choque personne que 0 soit le seul réél à la fois positif et négatif, alors que 0.00000001 est positif.. n'est ce pas étonnant que 0 soit le seul est unique réél à la fois positif et négatif, en rupture total avec ces voisins (si j'ose dire) ?

[Quinto]

On peut dire à peu près n'importe quoi quand on ne prouve rien et que l'on sort des phrases sans queue ni tête pour faire croire que l'on n'y connait quelque chose.

[raji1990]

0^0 est une convention ça depend ou nous travaillons un anneau ....
le mieux est d'oublier sinon on perd la tête

[mounjar]

ou alors on montre séquentiellement la continuité de la fonction x->x^x en 0 !!!!

[Médiat]

ou alors on montre séquentiellement la continuité de la fonction x->x^x en 0 !!!!

C'est le point 2 du chapitre 2

[KerLannais]

Je n'ai pas compris ce que vient faire le fait que 0 soit le seul nombre positif et négatif dans cette discussion ou du moins qu'est-ce que ça change au problème. J'ai ne sais pas si un argument de prolongement par continuité est une bonne justification étant donné que si on veut prolonger par continuité la fonction

en 0 (à droite) on trouve 0^0=0.
Je pense aussi que la convention 0^0=1 est la plus naturel qui soit et j'aime beaucoup le 3eme argument. Mais pour les limites il faut se souvenir que 0^0 est une forme indéterminée sinon on peut vite dire des conneries.

[axiles]

Je voudrais revenir sur quelques points en faveur de la convention

Si on suppose que notre prologement respecte toujours la formule suivante :

Pour tou x, y, z on a

En particulier pour tout a et pour tout x on a

En particulier donc ou

Donc pour définir tout en respectant la première formule on a plus que deux choix possibles (et non plus une infinité)

En ce qui concerne le chapitre 3, on peut généraliser le raisonnement à n'importe quel catégorie cartésienne fermée qui possède un objet initial.

[Médiat]

Pour tou x, y, z on a

En particulier pour tout a et pour tout x on a

En particulier donc ou

Donc pour définir tout en respectant la première formule on a plus que deux choix possibles (et non plus une infinité)

Ce point est dans le chapitre 1, lorsqu'il est question de morphisme de monoïde.

En ce qui concerne le chapitre 3, on peut généraliser le raisonnement à n'importe quel catégorie cartésienne fermée qui possède un objet initial.

Je ne connais pas bien les catégories (à ma grande honte), mais est-ce qu'en faisant cela on ne s'enfonce pas un peu plus dans la convention ? Est-ce que ce n'est pas un retournement de la cause et de l'effet (le vide est l'objet initial de la catégorie des ensembles d'où la tentation de le noter 0, et les singletons sont les objets terminaux, d'où la tentation de le noter 1 (une seule notation puisqu'ils sont canoniquement isomorphes)).
Quand j'écris que l'on "s'enfonce dans la convention", je parle de la notation, pas du résultat, bien sur.
En tout état de cause, merci de cette précision.

[axiles]

Ce point est dans le chapitre 1, lorsqu'il est question de morphisme de monoïde.

On n'utilise pas le même morphisme (pas d'additions dans mon cas) et je ne vois pas de lien direct entre les deux démonstrations même si elle arrivent à la même conclsion.

En tout cas cette démonstration a l'avantage d'être très accessible : il suffit de connaître la première formule.

Je ne connais pas bien les catégories (à ma grande honte), mais est-ce qu'en faisant cela on ne s'enfonce pas un peu plus dans la convention ? Est-ce que ce n'est pas un retournement de la cause et de l'effet (le vide est l'objet initial de la catégorie des ensembles d'où la tentation de le noter 0, et les singletons sont les objets terminaux, d'où la tentation de le noter 1 (une seule notation puisqu'ils sont canoniquement isomorphes)).
Quand j'écris que l'on "s'enfonce dans la convention", je parle de la notation, pas du résultat, bien sur.
En tout état de cause, merci de cette précision.

A ma connaissance si on a choisit ces notations pour l'objet initial et final c'est plutôt parce que l'objet final est neutre pour les produits et l'objet initial est neutre pour la somme. De plus si la catégorie est fermée alors l'objet initial est absorbant pour les produits. Il est donc légitime de noter l'objet final 1 et l'objet initial 0.

[Médiat]

On n'utilise pas le même morphisme

Effectivement ce n'est pas le même morphisme, mais c'est la même idée (la même philosophie).

A ma connaissance si on a choisit ces notations pour l'objet initial et final c'est plutôt parce que l'objet final est neutre pour les produits et l'objet initial est neutre pour la somme. De plus si la catégorie est fermée alors l'objet initial est absorbant pour les produits. Il est donc légitime de noter l'objet final 1 et l'objet initial 0.

Ce qui montre encore mieux que ce sont les propriétés de 0 et de 1 qui justifie les notations utilisées pour les catégories et non les catégories qui justifient 0⁰ = 1 (ce n'est plus le résultat qui est une convention comme pour les chapitres 1 et 2, mais la notation qui est choisie en fonction du résultat) ; en tout cas c'est ainsi que je ressens les choses.

C'est juste une question de démarche, je ne conteste pas le résultat que tu as cité .

[invite9321657]

omi je voudrais remettre le seul probléme en cause : le prolongement par continuité de

0^x

si 0^x tend vers 0 quand x tend vers 0 et donc que 0^0=0

alors ça devrait avoir une impacte sur tout un tas de fonction en y^f(x)..
admettons que tous les y^f(x) tendent vers 1 sauf quand y=0.. on a un prolongement en continuité de fonction qui tendrait à nous prouvé le contraire.. on pourrait appliqué un raisonnement récursif.. :

si g(y)^f(x) tendent tous vers 1 quand g et f tendent vers 0, on a un argument qui a infiniement plus de poid que le reste.. mais j'admet que c'est indiscernable..

Si c'est ce qui était déjà démontrer, alors pourquoi revenir dessus ?

[invite9321657]

que pensez vous de ce raisonnement..

(0^x) * 0 = (0^(x+1))

et donc

(0^(x-1)) * 0 = (0^x)

pour x=0 on a donc (1/0) = 1 (ou 0)..

si 1/0 est indéfinit, alors 0^0 l'est aussi..

[axiles]

omi je voudrais remettre le seul probléme en cause : le prolongement par continuité de

0^x

si 0^x tend vers 0 quand x tend vers 0 et donc que 0^0=0

alors ça devrait avoir une impacte sur tout un tas de fonction en y^f(x)..
admettons que tous les y^f(x) tendent vers 1 sauf quand y=0.. on a un prolongement en continuité de fonction qui tendrait à nous prouvé le contraire.. on pourrait appliqué un raisonnement récursif.. :

si g(y)^f(x) tendent tous vers 1 quand g et f tendent vers 0, on a un argument qui a infiniement plus de poid que le reste.. mais j'admet que c'est indiscernable..

Si c'est ce qui était déjà démontrer, alors pourquoi revenir dessus ?

Je n'ai pas trop compris ce que tu veux dire. Mais apparemment cela ressemble au point 2 de Mediat. Cela dit juste qu'on ne peut pas prolonger par continuité en (0, 0) la fonction (x, y) |-> x^y. Ce qui explique entre autre que définir 0^0 n'a pas beaucoup d'intéret en analyse. Mais comme le montre les autres points cela est commode dans d'autre domaines de poser 0^0 = 1.

que pensez vous de ce raisonnement..

(0^(x-1)) * 0 = (0^x)

pour x=0 on a donc (1/0) = 1 (ou 0)..

On cherche une définition cohérente de 0^0, pas de 0^x avec x < 0. Or ton raisonnement sous-entend que 0^(-1) existe, il ne peut donc pas être utilisé pour affirmer qu'il n'existe pas de "bonne" définition de 0^0.

[invite9321657]

Je n'ai pas trop compris ce que tu veux dire. Mais apparemment cela ressemble au point 2 de Mediat. Cela dit juste qu'on ne peut pas prolonger par continuité en (0, 0) la fonction (x, y) |-> x^y. Ce qui explique entre autre que définir 0^0 n'a pas beaucoup d'intéret en analyse. Mais comme le montre les autres points cela est commode dans d'autre domaines de poser 0^0 = 1.




On cherche une définition cohérente de 0^0, pas de 0^x avec x < 0. Or ton raisonnement sous-entend que 0^(-1) existe, il ne peut donc pas être utilisé pour affirmer qu'il n'existe pas de "bonne" définition de 0^0.

ce que je veux dire c'est que si une majorité de combinaison de fonction qui tendent vers 0 tendent vers 1 quand on les met en puissance, on a un argument "naturel" qui pèse..
mais ça reste un argument qui n'est pas mathématique..
(c'est vrai c'est ce que Médiat voulais dire dsl. )

[invite9321657]

Je n'ai pas trop compris ce que tu veux dire. Mais apparemment cela ressemble au point 2 de Mediat. Cela dit juste qu'on ne peut pas prolonger par continuité en (0, 0) la fonction (x, y) |-> x^y. Ce qui explique entre autre que définir 0^0 n'a pas beaucoup d'intéret en analyse. Mais comme le montre les autres points cela est commode dans d'autre domaines de poser 0^0 = 1.




On cherche une définition cohérente de 0^0, pas de 0^x avec x < 0. Or ton raisonnement sous-entend que 0^(-1) existe, il ne peut donc pas être utilisé pour affirmer qu'il n'existe pas de "bonne" définition de 0^0.

selon moi.. x /0 = 0...
C'est un raisonnement pas du tout mathématique.. (puisqu'on est dans le domaine de l'indéterminable.. )
juste une histoire de symétrie.. si il devait y avoir un réél, autant qu'il préserve la symétrie de la fonction par la droite x=y, d'autant que si la limite à droite est +inf et à gauche -inf, et qu'on considère que x-x tend vers 0 à l'infinie, on voit que quoi qu'il y ai là bas, les deux cotés s'annule..
bien sur, pas la peine de me crier dessus, je ne fais plus de "maths".. j'avoue..