Pour en finir avec 0^0

[invite6b1a864b]

l'autre solution symétrique, cette fois par le point (0;0),
[soyons fou, à fond dans le n'importe quoi scandaleux]
c'est

x /0={ IR ou non IR (= ensemble vide) }

La convention actuelle est x/0 = ensemble vide..

hors puisque la solution de x* 0 = 0 c'est IR..

donc 0/0 = IR, non ?
(c'est une idée)

- l'autre idée 1/0 = 0 avait un avantage, elle permet une bijection

autrement dit, je peux(pourrais) résoudre 1/x = y pour tout y..
si 1/x=0 alors le x qui n'a pas servit pour d'autre y c'est x=0

ça nous avance à rien.. on dirait un discours de théologie.. "si Dieu n'existe pas, alors pourquoi je porte une soutane ?"
-----

[invite2257a8e8]

Pourquoi ne pas utiliser une simple fonction puissance(a^x) ?
Sachant que a^x = exp(ln(a^x)),
a^x = exp(x(ln(a))
Ainsi quelque soit a appartenant au réel (privé de 0), a⁰= exp(0) = 1.
Puis, il suffit de calculer la limite de a-> 0, de a⁰= 1
Ou de prendre la dérivé de a⁰ en fonction de a, qui est une constante. Or, comme 1⁰= 1, donc a⁰= 1.

[Seirios]

Bonjour,

Ainsi quelque soit a appartenant au réel, a⁰= exp(0) = 1

Le problème est que le "quelque soit" est incorrect ; le logarithme népérien n'est pas défini sur IR...

[invite2257a8e8]

Effectivement, j'ai oublié l'ensemble de définition de ln..
Dans ce cas, la méthode de la dérivé ne marche pas non plus. Cependant, la première méthode fonctionne avec x appartenant à R et a à IR+ \ {0}

[Médiat]

Pourquoi ne pas utiliser une simple fonction puissance(a^x) ?

As-tu lu le chapitre 2 paragraphe 1 du post #1 ?

[sadben2004]

(un peu plus subtile : comme l’ensemble de départ est vide, il n’y a rien à associer, et comme il n’y a qu’une façon de ne rien faire, le nombre d’application est 1)

La définition formelle d’une application entre deux ensembles est :
Soit et deux ensembles finis, une application de vers est un sous-ensemble de vérifiant :
.

Faudrait ajouter :
Ca ne change rien pour le raisonnement, mais

Si est vide est vide, et l’ensemble vide (dans le rôle de ) vérifie bien l’axiome ci-dessus, l’ensemble vide est donc bien une application de dans , et c’est évidemment la seule.

si E est non vide, on aura 1 + card(F)^card(E) applications possibles si l'ensemble vide de ExF en définisait une comme vous dites. D'ou l'importance du

[Médiat]

Faudrait ajouter :

C'est nécessaire, je suis d'accord, mais c'est bien dans la formule que j'ai écrite .

[invitee4f2d7b4]

tam3elmite

[sadben2004]

La définition formelle d’une application entre deux ensembles est :
Soit et deux ensembles finis, une application de vers est un sous-ensemble de vérifiant :
.

Je comprend pas pourquoi c'est dans la formule;

Si x est dans E, et "n'a pas d'image dans F", pour tout y et z dans F on a que

est FAUSSE
et donc implique tout ce qu'on veut.

[Médiat]

Je comprend pas pourquoi c'est dans la formule;

Si x est dans E, et "n'a pas d'image dans F", pour tout y et z dans F on a que

est FAUSSE
et donc implique tout ce qu'on veut.

Les parenthèses ne sont pas inutiles

[sadben2004]

Ah ouiiiii, c'est le jeu de parenthese
Il me faudrai des lunettes.
Pardon, et desolé pour avoir polué ton post.

[Médiat]

Pardon, et desolé pour avoir polué ton post.

Pas de problème, un oeil critique est toujours le bienvenu.

[invitea0b22930]

Excellente discussion. Bon thème et bonne argumentation. Je voudrais simplement attirer l'attention sur le fait suivant.
Il ne s'agit-là que d'une cas particulier d'une situation beaucoup plus générale:
(M,T,e) étant un monoïde, définir récursivement T(X) pour X partie finie de M au sens ensembliste.
Pourquoi faut-il poser T()=e ?
J'ai participé à une longue discussion sur ce thème dans un forum d'informatique.
Nouveau sur ce forum, j'ignore si les liens vers des discussions d'autres forums sont autorisés.
Dans le doute je m'abstiens.

[invite06622527]

Bonjour,

pour apporter une information complémentaire à l'intervention de "Beverycool" (message 13 de cette discussion).
L'article qu'il a signalé est maintenant accessible par le lien suivant :
http://www.scribd.com/people/documen...575-jjacquelin
Dans la liste, sélectionner la ligne : "Zéro puissance zéro".

[Médiat]

pour apporter une information complémentaire à l'intervention de "Beverycool" (message 13 de cette discussion).
L'article qu'il a signalé est maintenant accessible par le lien suivant :
http://www.scribd.com/people/documen...575-jjacquelin
Dans la liste, sélectionner la ligne : "Zéro puissance zéro".

Si je n'avais pas publié ici avant la parution de cet article, je me serais accusé moi-même de plagiat ...

[invite06622527]

Citation : << Si je n'avais pas publié ici avant la parution de cet article, je me serais accusé moi-même de plagiat ... [c.f. Médiat] >>

il n'est certes pas question de plagiat en cette matière. Tout ce qui a été écrit était connu bien avant, dispersé dans la littérature et à l'occasion sur les forums de maths.
Il s'agissait simplement d'en faire une petite note de vulgarisation. Que ce soit dans le papier que j'ai soumis au magazine Quadrature en 2006 (parution en octobre 2007) ou le texte mis sur ce forum et qui a ouvert la discussion en cours, le fond est quasiment le même. Il n'y a que les styles qui sont différents.
Je salue bien cordialement Médiat pour l'initiative qu'il a eue, à l'époque, de relancer de belle manière ce sujet sur le forum.

[nicozeyo]

Bonjour tout le monde, je viens exposer ma thése sur 0^0, pour moi 0^0 c'est:
tout d'abord, à mes yeux le zéro, c'est le nombre qui désigne l'absence de quantité totale, je sais je suis jeune mon raisonnement peut vous paraître idiot mais on au moins j'expose donc mon avis:
Donc 0^0 soyons d'accord c'est mettre 0 à la puissance zéro donc pour faire des récapitulatif de n^n:

1^1=1 donc 1
2^2=2*2 donc 4
3^3=3*3*3 donc 27

Comme je l'ai dit tout à l'heure 0 pour moi ne représente pas de quantité, le vide pour être un peu physicien.
Or pour mettre 0 à la puissance 0 car soyons réaliste il n'y à aucun calcul la puissance 0 absorbe àmes yeux immédiatement le nombre :

Oui 1^1=1 donc
n^0=
pour moi il n'y à rien derriére le égal car aucun calcul n'est appliqué étant donné que la puissance est nulle et donc ne peut pas être quantifier, Désolé si je me suis mal exprimé au cours des mes explications mais j'ai fait du mieux que je pouvais.

Aurevoir.

[invite06622527]

Bonjour Médiat,

excuse moi de revenir ici pour une légère contradiction
Le titre même << Pour en finir avec 0^0 >> est d'un bien grand optimisme !
Le message de "nicozeyo" en est la preuve éclatente : Que ce soit écrit dans ton style comme dans le mien ou comme d'autres qui nous ont précédés, il y aura toujours des personnes qui ne le liront même pas, ou qui s'il le lisent ne le comprendront pas.
Je ne me faisais aucune illusion. Citation :
<< Avons-nous débusqué le dit monstre du Power Less ? Oui, certainement et nous ne sommes pas les premiers. Tout cela est connu de longue date, ce qui ne le gêne pas dans ses réapparitions. Débusqué, il l'est et l'a été. Mais disparu, annihilé, que nenni ! etc... >>
Conclusion : Mieux vaut en rire ...

[Médiat]

Bonjour JJacquelin,

excuse moi de revenir ici pour une légère contradiction
Le titre même << Pour en finir avec 0^0 >> est d'un bien grand optimisme !

Nous sommes bien d'accord, c'est pourquoi la première phrase de mon premier post commence par :

Bien sur ce titre n’est qu’une accroche marketing, et je n’en finirai sans doute avec rien

[invitea0075240]

Convention?? ah bon. J'apprends quelque chose. Mais du coup, quand est-ce que la définition a^x = exp(a*ln|x|) est est sortie? Ya erreur à le calculer simplement comme tel?:
0^0
= exp(0*ln|0|)
= lim(n-> -infini) ( exp(0) )^n
= lim(t-> infini) ( 1 / (1^t))
= 1/1
= 1

à moins que la définition de exp soie venu bien plus tard?
.... une lanterne svp? je débute et j'ai du mal avec tout ce vocabulaire..
EN GROS: Est-ce un question de l'histoire des mathématiques pour ne pas définir 0⁰ comme tel?

Amicalement,
Eldorico

[matths]

Remarque liminaire : les « objets » mathématiques et les relations qui les joignent ne se trouvent pas dans la nature, ce sont des définitions précises données par les mathématiciens, il n’est donc pas raisonnable de vouloir démontrer une définition ou une convention (qui n’est qu’une définition particulière), on peut, au mieux, les justifier.

Bonjour,
justement, existe-t-il un ouvrage dans lequel on peut retrouver toutes les définitions et conventions de base des mathématiques?
Merci par avance.

[invite06622527]

Bonjour Eldorico,

Ya erreur à le calculer simplement comme tel?:
0^0
= exp(0*ln|0|)
= lim(n-> -infini) ( exp(0) )^n
= lim(t-> infini) ( 1 / (1^t))
= 1/1
= 1

attention aux limites à l'infini, cela ne se manie pas si simplement
Un exemple similiaire d'erreur :
Etant donné que 0 = lim(n-> infini) (exp(-n))
0/0 = lim(n-> infini) (exp(-n)/exp(-n))
exp(-n)/exp(-n) = 1
0/0 = lim(n-> infini) (1)
0/0 =1
ce qui est évidemment faux. Chacun sait que 0/0 est indéterminé.
Ceci dans le contexte habituel. De même pour 0^0. Maintenant si on se place dans un contexte mathématique différent pour lequel on donne à 0^0 une définition précise et particulière au domaine limité des mathématiques dont on parle, ce n'est pas la même chose :

EN GROS: EN GROS: Est-ce un question de l'histoire des mathématiques pour ne pas définir 0⁰ comme tel?

As-tu lu l'explication à ce sujet de Mediat (message#1 de cette discussion) ? Ou l'explication très similaire dans l'article "Zéro puissance zéro" par le lien: http://www.scribd.com/people/documen...575-jjacquelin

[Médiat]

Bonjour,

justement, existe-t-il un ouvrage dans lequel on peut retrouver toutes les définitions et conventions de base des mathématiques?

Ce ne serait pas raisonnable puisque chaque branche des mathématiques à ses propres définitions et conventions, par contre sur le net il y en a plusieurs, le plus complet, à ma connaissance, est http://mathworld.wolfram.com/.

[Bruno]

Bonjour,

Ce ne serait pas raisonnable puisque chaque branche des mathématiques à ses propres définitions et conventions, par contre sur le net il y en a plusieurs, le plus complet, à ma connaissance, est http://mathworld.wolfram.com/.

Il y a qqch qui me dérange : est une assertion et ne peut être que vraie ou fausse mais pas les deux. Or on vient de montrer qu'elle était vraie et fausse en même temps, ce qui contredit l'axiome d'exclusion mutuelle et qui rend les maths incohérentes avec elles-mêmes

[Médiat]

Il y a qqch qui me dérange : est une assertion et ne peut être que vraie ou fausse mais pas les deux.

Une assertion est vraie, ou fausse ou ni l'un ni l'autre dans une théorie, pas en-soi.
Une assertion est vraie ou fausse dans un modèle, pas en-soi.

Or on vient de montrer qu'elle était vraie et fausse en même temps, ce qui contredit l'axiome d'exclusion mutuelle et qui rend les maths incohérentes avec elles-mêmes

Donc on n'a jamais montré qu'elle était vraie et fausse, mais qu'il y avait plusieurs objets mathématiques (trois ici, mais ce n'est pas limitatif) qui sont notés , pour l'un d'entre eux (chap. 3) le résultat () est démontrable, pour un autre, c'est une convention "très naturelle" (chap 1), et pour un autre, c'est une convention "naturelle" (chap 2).

Je ne vois donc aucune incohérence (cela se saurait )

[invite06622527]

Il y a qqch qui me dérange : est une assertion et ne peut être que vraie ou fausse mais pas les deux. Or on vient de montrer qu'elle était vraie et fausse en même temps, ce qui contredit l'axiome d'exclusion mutuelle et qui rend les maths incohérentes avec elles-mêmes

Encore faut-il que la dite "assertion" contienne TOUTES les définitions et données qui la rende décidable. S'il lui manque quelque chose, si elle contient une ambiguité, l'assertion peut être vraie et fausse en même temps (par exemple : vraie dans certains cas, fausse dans d'autres, la distinction entre les cas ayant été oubliée dans l'écriture de l'assertion)
Exemple d'assertion :
" avec x positif ou nul, x^y tend vers 1 lorsque x et y tendent vers 0"
Cette assertion est indécidable : Ainsi que cela est expliqué dans les articles déjà cité, le résultat dépend s'il existe ou non une relation entre x et y et quelle est cette relation : ce n'est pas pareil, d'une part avec x=y tendant vers 0, d'autre part avec x et y tendant vers 0 selon des fonctions différentes. Il y a plusieurs exemples dans l'article "Zéro puissance zéro" au §.4.
L'assertion est donc vraie dans un cas : x=y tendant vers 0 et fausse dans d'autres cas avec x et y tendant chacun vers 0, mais en n'étant pas égaux.
Je ne suis pas étonné que ces questions continuent à se poser malgré les explications et exemples donnés dans les articles cités. Et ce n'est pas près d'être fini. Il ne faut pas croire que les articles que l'on écrit sont vraiment lus.
La boutade dans la conclusion de l'article :
"Nous tous n 'avons pas fini de rencontrer le Monstre du Power Less"
reste d'actualité.

[invite796728fb]

salut tu te dérange pas

[inviteeef69825]

coucou
en quoi le raisonnement suivant est-il faux ?

pour tout x>0, x^x = exp(x(lnx)). lim x(lnx) = 0 en 0 et exp(0)=1. il s'agit donc d'un prolongement par continuité. je dis n'importe quoi ? ^^

[Médiat]

pour tout x>0, x^x = exp(x(lnx)). lim x(lnx) = 0 en 0 et exp(0)=1. il s'agit donc d'un prolongement par continuité. je dis n'importe quoi ? ^^

Cet exemple se trouve en bonne place dans le paragraphe 2 du chapitre 2 du post #1, mais ce n'est qu'un des paragraphes, et même si on ne considère que celui-ci, la fonction x^x n'est qu'une des fonctions prolongeables par continuité, d'autres fonctions permettent, toujours par continuité, de donner n'importe quelle valeur à 0⁰ dans ce chapitre.

[invitec855f267]

merci monsieur pour ce sujet qui est tres important