accroissement fini

**sophie931** · 23/02/2013, 23h22

Bonjour je j'aurai besoin d'un peu d'aide
L'espace $\text{[math]}$ est muni d'une norme ||.|| Soient I un intervalle ouvert, $\text{[math]}$ une
fonction dérivable, k une constante positive et $\text{[math]}$ . On suppose que $\text{[math]}$ ; pour tout $\text{[math]}$ ; et $\text{[math]}$

(a) Montrer qu'il existe h > 0 tel que u soit identiquement nulle sur l'intervalle $\text{[math]}$
ce que j'ai fais pour l"instant:
||u'(t)|| < k||u(t)|| et pour tout $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
J'intègre entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ puis avec les accroissement finis $\text{[math]}$ le terme de droite tend vers 0 sur I' donc u(t)=0 sur I' pour h petit ?

b) Montrer que S = {t dans I : u(t) = 0} un ensemble fermé et ouvert.
Je bloque totalement sur ça...

**sophie931** · 24/02/2013, 10h14

pour la b, pour montrer que S était fermé j'ai pris une suite tn de S convergeant vers t de I donc par continuité de u on a lim u(tn)=lim u(t) et comme u(tn)=0 on a u(t)=0
donc t est dans S d'ou le fait que S est fermé..
Pour l'ouvert si vous aviez une idée ça m'aiderai...

**Seirios** · 24/02/2013, 10h42

Bonjour,

Pour a), ton argument n'est pas correct puisque le terme de gauche de ton inégalité dépend également de $\text{[math]}$ . Pour b), montrer que $\text{[math]}$ est ouvert est une conséquence immédiate de a).

**albanxiii** · 24/02/2013, 10h44

Bonjour,

Envoyé par sophie931

(a) Montrer qu'il existe h > 0 tel que u soit identiquement nulle sur l'intervalle $\text{[math]}$
ce que j'ai fais pour l"instant:
||u'(t)|| < k||u(t)|| et pour tout $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
J'intègre entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ puis avec les accroissement finis $\text{[math]}$ le terme de droite tend vers 0 sur I' donc u(t)=0 sur I' pour h petit ?

Le fait qu'il tende vers zéro n'implique pas qu'il soit nul ! Là, vous montrez juste que la fonction $\text{[math]}$ est continue en $\text{[math]}$ .
A votre place j'exploiterais le fait que sous les hypothèses de l'énoncé, on a $\text{[math]}$ (pour rappel, on a aussi $\text{[math]}$ ).

@+

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**sophie931** · 24/02/2013, 11h02

Pour le fait que S est ouvert c'est bon j'ai compris, mais pour la première question je vois bien qu'en fait j'ai montré la continuité en t0 mais du coup même avec ce que vous me dites je vois pas comment faire pour montrer que u est nulle

**Snowey** · 24/02/2013, 11h41

On peut par exemple essayer d'itérer votre méthode (accroissements finis, puis hypothèse d'une dérivée bornée) en rédigeant soigneusement avec les quantificateurs, et en bornant à chaque fois par des constantes qui ne dépendent que du voisinage (ne pas laisser (t-t0) par exemple). Il suffit alors de passer à la limite pour conclure que u est nulle sur un voisinage bien choisi (il dépendra de k ...)

PS: attention, les accroissements finis sont valables pour des fonctions continues, dérivables (moins fort que C1, donc, et il s'applique bien ici) mais sa preuve "en intégrant" n'est valable que si la dérivée est un minimum régulière, ce qui n'est a priori pas le cas ici (autrement dit, on n'a pas vraiment le droit d'intégrer u', je pense).

Quant à S, son caractère fermé est lui aussi immédiat (u est continue).

**sophie931** · 24/02/2013, 13h48

Donc on a ||u'(t)|| < k||u(t)|| et on a bien pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ ? ça je peux le dire?
Si j'utilise les accroissement finis, j'ai $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ vu que u(t0)=0 et comme t est dans I' on a t-t0<h
d'ou
$\text{[math]}$ ça dépend donc que de k et de h la. Ca suffit du coup?

**Snowey** · 24/02/2013, 16h20

Presque, mais pas tout à fait car tu as encore des symboles assez génants: ton h dépend de ton epsilon, et tu ne peut pas vraiment faire tendre quoi que ce soit vers 0 par exemple !
Par contre, rien ne t'interdit de recommencer (itérer):
Ayant fixé $\text{[math]}$ , tu possèdes un voisinage V ( $\text{[math]}$ ) sur lequel tu as la relation $\text{[math]}$ .
Il ne reste plus qu'à choisir un epsilon pour lequel $\text{[math]}$ (il existe bien sûr, par continuité) et ainsi tu peux légitimement passer à la limite (n tendant alors vers l'infini)
Ainsi, sur ton nouveau voisinage (qui existe par construction), la fonction est bien nulle

**sophie931** · 24/02/2013, 18h11

Il ne reste plus qu'à choisir un epsilon pour lequel $\text{[math]}$ (il existe bien sûr, par continuité)
oui mais dans ce cas on en revient à $\text{[math]}$ qu'on a supposé au début..

**Snowey** · 24/02/2013, 19h26

Ah non !
D'abord, dans l'approche que je te propose ce epsilon est à ajuster, puisque c'est lui qui donnera le bon voisinage. Ensuite, on travaille maintenant avec des suites (puissances de n) et par conséquent passer à la limite dans une inégalité avec quantificateurs est légitime. Enfin, l'inégalité est, comme tu l'as pourtant écrit, stricte: tu regardes le comportement à l'infini d'une suite géométrique de raison strictement inférieure a 1 (et non pas égale à 1 comme tu sembles l'écrire): le terme de droite tend donc vers 0 !
Est ce plus clair ?

**sophie931** · 24/02/2013, 19h34

pas tout à fait, le epsilon qu'on ajuste à la fin c'est quand même celui du départ, du coup ce que je comprend c'est qu'on part de ||u(t)||<=epsilon pour arriver à $\text{[math]}$ .
Mais si on prend epsilon pour lequel $\text{[math]}$ on arrive bien en remplaçant à $\text{[math]}$ donc on est passé de <= à une inégalité stricte non?

**Snowey** · 25/02/2013, 07h02

Raisonnons "avec les mains": u est nulle en t0, sa dérivée aussi: la fonction ne s'éloigne pas immédiatement de l'axe, et reste donc très petite sur un certain voisinage. Or on a un contrôle sur la dérivée, qui est encore plus petite que la fonction: la fonction varie donc moins que prévu, elle est encore plus proche de zéro sur un voisinage. Or la dérivée est plus petite que la fonction, donc très très faible et par conséquent la fonction l'est vraiment plus que prévu et cætera...
Pour formaliser ça, on itere ! C'est à dire qu'on obtient une inégalité vraie quels que soit n dans N, en étant parti d'un voisinage quelconque donne par la continuité de u. On voudrait passer à la limite, et hop u serait nulle sur le voisinage de départ.
Intuitivement, on a quand même du mal à croire qu'en ayant choisi un epsilon arbitraire on soit tombés sur le bon voisinage (on veut montrer qu'il existe quand même, ce n'est pas évident !!). Et en effet, si on ne choisit pas un h "assez" petit (moralement k est grand, et plus il est grand plus le contrôle du voisinage doit être fin, car on a de grandes imprécisions sur la dérivée en fonction de u dans la majoration), et bien l'inégalité ne sert à rien puisque à gauche cela tend ... vers l'infini !
Mais, notre raisonnement (je n'ai justement pas utilisé les quantificateurs :/) est valable quel que soit le epsilon voulu, id est aussi petit que l'on souhaite (c'est bien la définition de la continuité) et plus ce dernier est petit, plus le voisinage est petit (on gagne en précision) donc plus h est petit ! Choisir epsilon ne modifie en rien le raisonnement précédent (c'est une itération d'inegalites successives ...) mais permet d'expliciter un voisinage sur lequel la fonction va bien être nulle (sinon, comment prouver l'existence d'un tel voisinage ?): en effet, l'inégalité h<1/k est STRICTE. Je me répète donc: on fait tendre n vers l'infini est le membre de droite tend vers 0 (et non pas 1 comme tu persistes a l'écrire). On a donc grandement affiné la première inégalité !
Pour finir, je dirais que ce qui a motivé cette preuve est, outre le raisonnement qualitatif du départ, le contre exemple ultra classique du x^3, qui est nul en 0, et dont la dérivée s'annule en 0 sans que la fobction soit nulle ailleurs qu'en 0 ! À méditer. (L'hypothèse de dérivée bornée par la fonction est fausse, c'est donc que c'est elle qui joue un rôle central !).

Peut être n'aimes tu pas l'idée d'iterer, mais je ne vois pas comment ton inégalité pourrait marcher sans cela (je rate peut être quelque chose). Il y a sans doute des résolutions plus élégantes (par l'absurde, directement sans itération, ...) mais la mienne à l'avantage d'être intuitive et se met en place assez facilement (je veux dire, sans outils mathématiques développés).

Bonne chance, et sinon demande à d'autres.
À +.

accroissement fini