Polynôme

**Isis-mirka** · 25/02/2013, 13h26

Bonjour à tous, je crée cette nouvelle discussion pour des exos de maths qui sont en fait issus de la discussion "décomposition en éléments simples" mais pour plus de commodité, j'ai préferé ouvrir celle-ci.
Il s'agit pour commencer de l'exo 5., a partir de la question 1.b)
voici l'énoncé:
énoncé226 001.jpg

voila ce que j'ai essayé de faire, mais je ne suis pas sur de moi du tout, j'aimerais avoir votre avis sur la question.
ex5.226 001.jpg
ex5 suite 001.jpg

Merci d'avance.

**Seirios** · 25/02/2013, 15h46

Bonjour,

Il me semble qu'il y a une erreur de signe dans le calcul du discriminant : -5+5i.

**Isis-mirka** · 25/02/2013, 16h28

ah oui je ne l'avait pas remarqué. je n’est plus qu'à recommencer tous les calculs
Je vous tiens au courant
merci

**Isis-mirka** · 25/02/2013, 17h27

Je viens de regarder cet exo à nouveau et je me dis que je ne dois pas employer la bonne façon de faire: dans mes calculs j'ai des "racine de 5941" ....
Pourriez vous m'indiquer la méthode à suivre pour cet exercice svp car je ne pense pas que je sois sur la bonne voie ...
Merci

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 25/02/2013, 17h36

La méthode me paraît bonne ; après, il peut y avoir des erreurs de calculs (je dois avouer ne pas les avoir fait). Si tu as un doute, tu peux tester les racines que tu trouves.

**jamo** · 25/02/2013, 17h43

Bonjour
pourquoi tu n'utilises le résultat du 1)a ?

**Isis-mirka** · 25/02/2013, 18h07

je ne sais pas trop comment l'utiliser: si je sais que x1=1+i est racine de P, alors je dis que x2=-1-i est aussi racine et je factorise par a(x-x1)(x-x2)(x-....) parceque vu que j'ai un polynome de degré 3..?

En plus, on me demande toutes les racines de P , donc, est-ce ,que je les ai toutes ?

De plus, pour la factorisation sur R, comment pourrais-je faire ?

merci

**jamo** · 25/02/2013, 18h12

le conjugué de (1+i) n'est pas (-1-i) mais (1-i ).
calcule P(1-i) et tu verras bien .si oui il en restera plus qu'une à trouver ce n'est pas la mer à boire

**Seirios** · 25/02/2013, 18h20

Envoyé par jamo

pourquoi tu n'utilises le résultat du 1)a ?

Ce qui simplifie considérablement le travail, je n'y avais même pas fait attention

**Isis-mirka** · 25/02/2013, 18h44

Donc je suis quand meme obligé de reprendre tous mes calculs précédents pour trouver ceette dreniere racine ?
Merci pour votre aide

**Seirios** · 25/02/2013, 19h58

Pour trouver la dernière racine, il suffit de factoriser ton polynôme par $\text{[math]}$ , ce sera plus simple.

**Isis-mirka** · 26/02/2013, 13h21

merci j'ai factoriser comme vous l'avez suggérer et ça fonctionne bien: la dernière racine est -5/3.
j'en déduis donc que P s'écrit: (x-1-i(x-1+i)(3x+5)
on a donc la factorisation sur C mais comment en trouver une sur R ? parce que je ne sais pas comment me débarrasser des complexes ici ...
Merci d'avance

**Seirios** · 26/02/2013, 14h27

Dans $\text{[math]}$ , la factorisation aura un facteur de degré deux : tu peux développer $\text{[math]}$ pour trouver des coefficients réels (ce qui marche parce que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont conjugués).

**Isis-mirka** · 26/02/2013, 14h30

désolé je ne comprend pas ce que vous dites. Il faudrait donc que je reparte de ce produit, le développer , ne garder que les coefficients réels et les refactoriser tous seuls ?

**Seirios** · 26/02/2013, 15h30

Je te donne un exemple :

Imaginons que l'on ait factoriser le polynôme $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ . Il s'agit donc de la factorisation de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ . En remarquant que $\text{[math]}$ , on en déduit la factorisation $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .

Je te rappelle que la factorisation d'un polynôme sur $\text{[math]}$ correspond à un produit de polynômes de degré un ou de polynômes de degré deux sans racine réelle.

**Isis-mirka** · 26/02/2013, 15h47

D'accord merci je crois que j'ai compris
Je vais essayer comme ça.
Merci

**Isis-mirka** · 26/02/2013, 16h13

Excusez-moi de vous déranger à nouveau mais j'ai un probleme avec l'exo7:

il s'agit de la question 2.b)

je dois faire une factorisation sur R avec trois facteurs de P(x)=x^5+1
J'ai trouvé 5 racines dans C (racines 5ièmes de 1) , j'en ai déduis une factorisation avec donc cind facteurs : (x-x1)(x-x2).....(x-x5) avec x1,x2 ...x5 les racines de 1.
J'ai dans R, une seule racines: -1
J'ai donc décidé factoriser par x+1:
P(x)=(x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
mais je n'ai qu'une factorisation a deux facteurs
et je n'ai pas utilisé la question 1 mais je ne vois pas comment l'utiliser pour résoudre mon probleme
Pouvez-vous m'aider sur le sujet ?
Merci d'avance

**Seirios** · 26/02/2013, 16h27

Comme je te l'ai dit plus haut, la factorisation d'un polynôme sur $\text{[math]}$ ne doit contenir que des polynômes de degré un ou des polynômes de degré deux n'ayant pas de racine réelle, donc ta factorisation peut être améliorée.

Il s'agit en fait de la même méthode que précédemment : tu pars de la décomposition dans $\text{[math]}$ et tu regroupes des termes comprenant des nombres complexes pour n'obtenir que des termes réels ; la question a) te montre justement comment procéder (tu as dû remarquer que Q est un polynôme à coefficients réels).

**Isis-mirka** · 26/02/2013, 16h42

ah moi j'ai trouver que justement Q(x) avait encore des complexes..j'ai du me tromper dans le développement.
Que trouvez-vous pour Q(x) ?
Merci encore

**Seirios** · 26/02/2013, 16h47

Il faut remarquer que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont en fait des réels.

**Isis-mirka** · 26/02/2013, 16h58

j'ai donc: Q(x)=x²-x*a(barre) - xa +a*a(barre) si il n'y a pas d'erreurs
or je remarque que par exemple (x-e^i*pi/5) est le conjugué de (x-e^i*9pi/5)
donc, le produit (x-e^i*pi/5)*(x-e^i*9pi/5) se simplifie en x²-x*e^i*9pi/5-x*e^i*pi/5+e^i*pi/5e^i*9pi/5 ?

désolé si je ne comprend pas tout
merci

**Isis-mirka** · 26/02/2013, 18h32

parce que la je crois que je vois ce que l'on veut me faire faire: simplifier l'expression qui en complexe en trois facteurs pour se ramener dans R
mais le tout est de savoir comment ...

**Seirios** · 26/02/2013, 18h59

Si tu écris $\text{[math]}$ , puis que tu calcules $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , tu devrais remarquer quelque chose.

**Isis-mirka** · 26/02/2013, 19h15

et bien je dirais que a + a(barre)= 2x
et a*a(barre)= x^2+y^2
mais où voulez vous en venir ?
je n'arrive pas a transposer ce résultat au probleme dsl

**Seirios** · 26/02/2013, 19h27

Et bien les coefficients du polynôme Q sont réels, et se simplifie en $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Tu peux donc continuer ce que tu as commencé au message #21, cela devrait se simplifier.

**Isis-mirka** · 26/02/2013, 20h09

j'ai essayé et voila ce que je trouve:

P(x)=(x²- 2xcos(pi/5) +1)*(x²- 2xcos(3pi/5))*(x+1)

ça irait ? parceque je n'arrive pas a redévelopper pour retomber sur x^5+1...

**Isis-mirka** · 26/02/2013, 20h15

j'ai pris pour partie réelle de a la partie réelle de exp(ipi/5) et de exp(i3pi/5) qui sont cos(pi/5) et cos(3pi/5) si je ne trompe pas

**gg0** · 26/02/2013, 21h13

Bonsoir Isis-mirka.

Le développement est effectivement assez pénible à faire si on ne dispose pas des valeurs algébriques :
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Cordialement.

**Isis-mirka** · 26/02/2013, 21h31

ok merci beaucoup à tous
Bonne soirée

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