Limite et equivalent

[invite27d9aeb9]

Je cherche la limite suivante sans réussir a le démonter simplement :

lim 1.2.3....(2n-1)/2.4.6...(2n) en plus l'infini

Merci.
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[Seirios]

Bonjour,

Connais-tu la formule de Stirling ?

[invite27d9aeb9]

Non je n'en ai jamais entendu parler.

[Seirios]

Après réflexion, tu n'as besoin de rien de très compliqué : En factorisant le dénominateur par une puissance de deux, tu pourras simplifier ta fraction pour ensuite la minorer par quelque chose comme .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite27d9aeb9]

je vois assez mal comment factoriser mon denominateur qui est déja un produit

[invite27d9aeb9]

Peut etre y a t'il plus simple je cherche a montrer que In est equivalent a Jn
avec In = (1.2.3....(2n-1)/2.4.6...(2n) )*Pi/2 et Jn = 2.4.6...(2n)/1.2.3....(2n-1)

ma premiere question etait la limite de In j'ai oublié ce Pi/2

et j'ai démontré que In+1<Jn<In

[Seirios]

Ton dénominateur est le produit des 2k, donc tu peux l'écrire sous la forme d'une puissance de 2 multipliée par le produit des k.

[Seirios]

Tu as donc , donc il te suffit de montrer que . Pour cela, les indications que je t'ai données permettent d'aboutir simplement au résultat (le n'influence pas le résultat).

[invite27d9aeb9]

c'est I (indice n+1) et non I (indice n) +1
Ce qui ne me permet pas de conclure si In tend vers l'infini car I indice n+1 vaut ((2n+1)/(2n+2))*In

[invite27d9aeb9]

Je viens de me rendre compte de ma bétise !