Equation differentielle

[yanou.v]

Bonjour a vous,

Je vous pose mon problème qui est le suivant :

y''-4y'+4'=e^(2t) (Eo)

Démarche que j'effectue pour trouver mes solutions:

P(r)= r²-4r+4
Delta = (-4)²-(4*1*4) = 0
soit r=(-b/2a) = (4/2*1) = 2

y(t) = C1e^(2t) + C2e^(2t)+yo(t) avec C2e^(2t) nul car Delta = 0

Pour mon équation sans second membre si je me trompe pas qui est yo(t) j'ai:

yo(t)= Ae^(2t)
yo'(t)= 2Ae^(2t)
yo"(t) = 4Ae^(2t)

Insertions dans (Eo):

yo"(t) - 4yo'(t) + 4yo(t) = e^(2t)
4Ae^(2t) - 4(2e^(2t)) + 4Ae^(2t) = e^(2t)
0 = e^(2t)

Ce qui me permet pas d'avoir un système d'équation a résoudre, j'ai essayer par la méthode de variation de la constante (MVC) et je tombe avec le même résultat.
Si vous pouviez m'éclairer, ou me dire que effectivement il y a des équations différentielles qu'on ne peut pas résoudre ça m'aiderais.

Cordialement.
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[gg0]

Binjour.

Ta solution générale de l'équation sans second membre est fausse. Revois la méthode (e^(2t) et e^(2t) ne sont pas des solutions indépendantes, c'est la même !)
Pour la solution particulière, c'est un cas de "résonance", car e^(2t) est solution de l'équation sans second membre. Dans ce genre de cas, on multiplie par la variable t; mais ici, te^(2t) est aussi solution de l'équation sans second membre; que faire : remultiplier encore par t. Donc on essaie At²e^(2t).

Bon travail !

[yanou.v]

Donc en incluant la variable "t"

yo(t) = Ae^(2t)
yo'(t) = 2Ate^(2t)
yo"(t) = 4At²e^(2t)

Je résous dans (Eo):

y" - 4y' + 4y = e^(2t)
(4At² - 8At + 4A)e^(2t) = e^(2t)

J'obtiens le système suivant :

4A = 0
-8A = 0 ==> A=1
4A = 1

Donc on inclut la variable "t" uniquement si le système d'équation n'est pas cohérent.

Cordialement.

[gg0]

Désolé,

je ne comprends rien à ce que tu écris !

Si yo(t) = Ae^(2t)
Alors on n'a pas
yo'(t) = 2Ate^(2t)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4842e1dc]

Salut

Pour info : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q...i_.CE.94_.3D_0

[yanou.v]

Autant pour moi j'avais fais le calcul avant et je trouvais ça:

yo(t) = (at+b)e^(2t)
yo'(t) = 2(at+b)e^(2t)+ae^(2t)
yo"(t) = (4at+4b+4a)e^-2t)

c'est ça ?

Cordialement.

[gg0]

A quoi sert de t'expliquer (message #2) si tu fais autre chose ?

Après tout, fais ce que tu veux, c'est ton exercice !

[invite4842e1dc]

y''-4y'+4'=e^(2t)

Salut

Je pense que tu as fait une faute de frappe et que ton équation différentielle est plutôt y''-4y'+4y=e^(2t) Equation (E)

Pour résoudre cette équation , il suffit d'appliquer le cours...


1) Recherche de la solution générale de l'équation homogène associée ( sans second membre )

c'est à dire y''-4y'+4y=0 Equation (E0)

La solution générale de l'équation (E0) ( à chercher par des calculs ) est : http://www.wolframalpha.com/input/?i...4y%27%2B4y%3D0



2) Recherche d'une solution particulière de l'équation (E) ( avec second membre ) : y''-4y'+4y=e^(2t)

Il y a plusieurs techniques pour trouver cette solution particulière...
Relis ton cours ou les explications données par gg0 (message n°2)


Pour t'aider :
Voici la solution de l'équation (E) ( à chercher par des calculs ) : http://www.wolframalpha.com/input/?i...y%3De^%282t%29

A+

[yanou.v]

Au final :

(Eo): y"-4y'+4y = e^(2t)

Démarche que j'effectue pour trouver mes solutions:

P(r)= r²-4r+4
Delta = (-4)²-(4*1*4) = 0
soit r=(-b/2a) = (4/2*1) = 2

soit: y(t)=(A+Bt)e^(2t) + yp

Je pose l'ESSM:
yp= at²+bt+c yp'=2at+b yp"=2a

J'injecte dans (Eo)
=> 4at²+(-8a+4b)t+(2a+4c-4b)

Résolultion du système:

4a=0 a=0
-8a+4b=0 => b=0
2a-4b+4c=1 c=1/4

donc y(t)=Ae^(2t) + 1/4

Je cherche les solution A et B pour f(0)=0 et f'(0)=1
yh=(A+Bt)e^(2t)
yh'=(2A+2Bt+B)e^(2t)
yh(0) = A
yh'(0) = 2A+B

Je résous le systéme:
A=0 A=0
2A+B=1 => B=1

y(t)= te^(2t) + 1/4

Donc si j'ai bien tout appliquer mon raisonnement est bon et les solutions aussi.

Cordialement

[gg0]

C'est faux.

ça commence à coincer à yp= at²+bt+c. Ce n'est pas une solution possible.

Au final : y(t)= te^(2t) + 1/4 n'est pas solution (vérifie !).

Tu n'as toujours pas lu le message #2 !!!!!

[yanou.v]

Je pourrais savoir ce que vous proposeriez comme ESSM du coup ?

Cordialement

[yanou.v]

Si je pose yp = A tout simplement mon ESSM serais valide ?

et donc:

yp=A
yp'=0
yp"=0

Cordialement.

[yanou.v]

J'ai essayer avec votre solution:

y(t)= (A+Bt)e^(2t) + yp

yp=At²e^(2t)
yp'=2At²e^(2t)+2Ate^(2t)
yp" = (4At²+8At+2A)e^(2t)

Je résous le système :

2A=1 soit a=1/2

Donc y(t) = te^(2t)+1/2

Cordialement.

[yanou.v]

J'ai finalement réussi a trouver en vérifiant ma solution finale égale 0, ce qui me donne 1 = 1

Merci pour les explication.

Cordialement.