Methode de Newton

[doko25]

Bonjour,

Je me demandais si sans l'aide d'un graphe, on peut déterminer le Xn qu'on doit utiliser pour faire la première approximation de la racine de notre équation. J'insiste sur le fait qu'on n'utilise pas le graphique...

Merci
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[Dlzlogic]

Bonjour,

Je me demandais si sans l'aide d'un graphe, on peut déterminer le Xn qu'on doit utiliser pour faire la première approximation de la racine de notre équation. J'insiste sur le fait qu'on n'utilise pas le graphique...

Merci

Bonjour,
C'est pas sans intérêt, votre question.
Il faut bien comprendre que la méthode de Newton permet de trouver la solution avec la précision recherché par une méthode itérative.
Comme toute méthode itérative, elle nécessite une valeur de départ. L'utilisation d'un graphique est une méthode, il y en a une autre qui s'appelle "le pif".
Cette méthode est utilisée en informatique de façon totalement automatique. Vous imaginez bien que la machine ne s'amuse pas à faire un dessin avant de commencer.
Donc la technique utilisée est que on connait l'intervalle pour l'inconnue, et on a vérifié au préalable que la fonction est continue et monotone sur l'intervalle considéré. Dans cet intervalle on prend une valeur "au pif" comme valeur de départ.
Un exemple réel : calcul de la hauteur d'eau dans un tuyau, suivant certaines conditions. La formule contient un angle et sa ligne trigonométrique. On ne sait pas résoudre ce genre d'équation. On est sûr que la hauteur d'eau est comprise entre 0 et le diamètre du tuyau. On prend D/2 et on y va.

[doko25]

Merci pour votre réponse.....

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Il y a mieux que le "pif" pour initialiser la méthode de Newton. C'est de l'initialiser par une autre...
Une pratique relativement courante est d'appliquer d'abord la méthode de bissection* un certain nombre de fois et d'utiliser le résultat de sortie de celle-ci pour initialiser la méthode Newton.

Celle-ci possède des propriétés de convergences "plus souples" que celles de Newton, mais elle est beaucoup plus lente...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonsoir Paraboloide,
Bien sûr complètement d'accord.
Mon expression "au pif" sous-entendait une méthode approchée approximative.
Ce que j'essayais de montrer est que la méthode pour fixer le point de départ de l'itération doit conduire à une valeur située dans l'intervalle convenable.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Ok, je ne l'avais pas compris ainsi...

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Pas de souci. En fait ces méthodes de calcul de valeur numérique avec une précision déterminée m'intéresse beaucoup. Je crois que chaque calcul a une méthode optimale. Quand la fonction est assez compliquée (valeurs trigo, etc), la méthode de Newton est toute indiquée parce qu'on converge très vite. Pour d'autres calculs, par exemple l'interpolation bilinéaire, la bissection est très intéressante, les calculs sont on ne peut plus simples.

[leon1789]

Mon expression "au pif" sous-entendait une méthode approchée approximative.

ah ok, je n'avais pas compris ainsi non plus.
"au pif" une expression que tu utilises souvent. Je retiens pour la prochaine fois...

[Dlzlogic]

Bon, alors je vais essayer de donner une définition.
On doit fixer et choisir quelque-chose. La seule méthode pour savoir si le choix est bon est justement le calcul qui démarre à partir de ce choix. Donc a donc deux possibilités, soit se dire "on peut pas, puisque c'est justement ce qu'on cherche", soit "on prend un certain nombre de précautions, on fait un choix pifométrique (== au pif) et on fait le calcul".
Cette méthode est très souvent utilisée lorsqu'on ne peut pas écrire X= quelque-chose.
Si on veut plus de rigueur dans cette définition. En gardant l'exemple de la méthode de Newton:
1ère hypothèse, on fait un dessin, sans grand intérêt dans le contexte informatique.
2nd hypothèse, on étudie la fonction, sens de variation, etc. on détermine un domaine pour la valeur cherchée, [a1 ; a2] et on choisit "au pif", suivant les cas, ça pourrait être le milieu, ou 1/3 ou je ne sais quoi, mais de toute façon ce sera une valeur approximative qui conduira forcément au résultat cherché, alors cette valeur là ou sa voisine, toi, Léon tu le sais ?

Si tu as compris, on a mis un petit pont sur le fossé énorme qui sépare les mathématiques théorique de la réalité de tous les jours et de l'activité professionnelle en particulier.

Un exemple très simple est l'interpolation bilinéaire :
Soit un quadrilatère connu en XY. De plus chaque point possède une caractéristique, par exemple un Z ou une température.
Soit un point xy intérieur au quadrilatère, quelle est sa caractéristique ?

[Paraboloide_Hyperbolique]

2nd hypothèse, on étudie la fonction, sens de variation, etc. on détermine un domaine pour la valeur cherchée, [a1 ; a2] et on choisit "au pif", suivant les cas, ça pourrait être le milieu, ou 1/3 ou je ne sais quoi, mais de toute façon ce sera une valeur approximative qui conduira forcément au résultat cherché, alors cette valeur là ou sa voisine, toi, Léon tu le sais ?

Je ne sais pas si votre question est rhétorique ou non. Dans le doute, je signale que la page wiki donne les conditions de convergence de la méthode de Newton (qui dépendent de bornes des dérivées premières et secondes de la fonction étudiée dans le voisinage de la solution): http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton

Si mes souvenirs sont bons, pour les itérations du type , il faut que dans le voisinage de la solution pour garantir la convergence (et bien sûr démarrer avec un x0 dans ce voisinage).

Il y a à peu près autant de conditions de convergences que de méthodes numériques (et encore je ne parle pas des méthodes numériques construite pour la résolution d'équations différentielles, équations intégrales, etc.)
Mais je m'emporte, peut-être connaissez-vous déjà tout ça...

[Dlzlogic]

Oh, mais moi, je ne suis au courant de rien, comme vous savez, les articles de Wiki ne constituent pas une référence pour moi, c'est juste mon avis.
Je suis incapable de vous contredire ou confirmer ce que vous dites.
Les méthodes du type Newton sont faites justement pour trouver des solutions numériques. Si des méthodes mathématiques permettent de trouver des solutions approchées exactes, c'est parfait, mais celles-ci ne m'intéressent pas, et en tout cas, je ne suis pas compétent.
Je constate que le petit pont dont je parlais est pas près de recevoir la première pierre.
Par contre, je sais calculer une interpolation bilinéaire, et vous ?
Je pense que le mieux est de trouver une réponse précise et compréhensible, voire utilisable, à notre ami Doko.
N'oublions pas que la question posée est "comment trouver une valeur approchée de départ sans faire de graphique pour appliquer la méthode de Newton".
Toute autre référence me parait hors sujet.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Il me parait utile de recentrer le sujet.
La question posée est très claire et précise :

Je me demandais si sans l'aide d'un graphe, on peut déterminer le Xn qu'on doit utiliser pour faire la première approximation de la racine de notre équation.

Dans le contexte de la méthode de Newton.
On peut envisager le cas où on souhaite appliquer la méthode de façon ponctuelle. La méthode graphique est une solution intéressante, mais en l'occurrence on en cherche une autre.
La solution idéale serait qu'on ait une idée de la solution, quelle que soit le moyen, alors on l'applique.
L'intérêt de la question est que on n'a aucune idée de la solution approchée, ce qui est le cas si cette méthode est utilisée de façon automatique, par exemple dans un programme informatique.
Dans ce cas, on aura naturellement codé le calcul itératif nécessaire, mais reste à trouver la valeur de départ, c'est la question posée.
Toutes les intervention concernant l'utilisation d'autres méthodes que celle de Newton concernant la façon de trouver cette caleur de départ me paraissent hors-sujet.
La formule à calculer est donc connue. On a calculé sa fonction dérivée, élément indispensable à la mise en œuvre de la méthode.
L'étude de la fonction a permis de définir ses caractéristiques, sens de variation etc.
Le but est de calculer une valeur précise en fonction des paramètres au moment du calcul. L'étude doit conduire à mettre en évidence un intervalle pour la valeur recherchée. Il ne reste plus qu'à trouver la valeur de départ pour l'itération.
Cette valeur de départ peut être le milieu de l'intervalle, ou le tiers inférieur ou je ne sais quoi d'autre. Une petite analyse peut permettre d'affiner le choix de cette valeur de départ, mais dans tous les cas, ce sera ce que j'appelle, un peu familièrement, une valeur "au pif".
Bonne nuit.

[leon1789]

Oh, mais moi, je ne suis au courant de rien, comme vous savez, les articles de Wiki ne constituent pas une référence pour moi, c'est juste mon avis.
Je suis incapable de vous contredire ou confirmer ce que vous dites.

Je constate que le petit pont dont je parlais est pas près de recevoir la première pierre.
Par contre, je sais calculer une interpolation bilinéaire, et vous ?

Bon... je ne sais pas ce que tu cherches dans cette discussion : tu clames que tu n'y connais rien sur le sujet (comme souvent), tu te permets de faire tout un assortiment de hors sujet (comme souvent), tu tournes en rond sur la méthode de Newton (comme ici http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4422236 et là http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4422236) car tu refuses, par un sacro-saint principe de mépris habituel, de prendre connaissance des références qu'on t'a déjà données plusieurs fois... Mais on a tous remarqué que tu fais preuve d'un certain humour par ton amusant << Mon expression "au pif" sous-entendait une méthode approchée approximative >> . Je me permets de donner encore un lien : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4338845 !!

Je crois que Paraboloide_Hyperbolique a répondu à la question de doko25 :

Je me demandais si sans l'aide d'un graphe, on peut déterminer le Xn qu'on doit utiliser pour faire la première approximation de la racine de notre équation. J'insiste sur le fait qu'on n'utilise pas le graphique...

Une pratique relativement courante est d'appliquer d'abord la méthode de bissection* un certain nombre de fois et d'utiliser le résultat de sortie de celle-ci pour initialiser la méthode Newton.

Celle-ci possède des propriétés de convergences "plus souples" que celles de Newton, mais elle est beaucoup plus lente...

En effet, la méthode de bissection (ou dichotomie) permet de déterminer un intervalle I (contenant la solution) ayant une longueur inférieure à en choisissant et .
Une fois un tel intervalle I obtenu, on peut lancer la méthode de Newton à partir de tout point de I et la convergence est assurée.

[Médiat]

Bonjour,

@Dlzlogic et leon1789 : je vous ai déjà demandé de quitter le bac à sable, lieu de vos petites guerres qui n'intéressent personnes, donc je vous le demande pour la dernière fois, cantonez-vous au domaine des mathématiques si vous n'êtes pas d'accord avec un autre intervenant, et abstenez de petites piques sans intérêt que vous pouvez toujours vous envoyer par mail privé autant que vous voulez !

Si vous ne compreniez pas ce message et que vous continuiez, je verrai avec le reste de la modération pour vous pré-modérer, ne serait-ce qu'à titre temporaire !

Médiat, pour la modération

[Paraboloide_Hyperbolique]

Oh, mais moi, je ne suis au courant de rien, comme vous savez, les articles de Wiki ne constituent pas une référence pour moi, c'est juste mon avis.

Je suis de votre avis. L'article du wiki concernant la méthode de Newton est cependant assez bien fait.

Les méthodes du type Newton sont faites justement pour trouver des solutions numériques. Si des méthodes mathématiques permettent de trouver des solutions approchées exactes, c'est parfait, mais celles-ci ne m'intéressent pas, et en tout cas, je ne suis pas compétent.

Rassurez-vous, la méthode de Newton a encore un bel avenir devant elle. Elle permet d'obtenir des solutions numériques pour une large classe d'équations non-linéaires pour lesquelles aucune solution analytique n'est connue.

Je constate que le petit pont dont je parlais est pas près de recevoir la première pierre.
Par contre, je sais calculer une interpolation bilinéaire, et vous ?

Je n'en ais personnellement jamais faites, mais je suppose que l'on peut procéder ainsi:

1) Poser une base bilinéaire
2) Pour interpoler une fonction en , connaissant ses valeurs en quatre points , résoudre le système linéaire:



3) Une fois les coefficients , connus en résolvant le système linéaire ci-dessus, l'interpolation est donnée par:



4) La matrice associée au système linéaire obtenue ainsi ressemble à une matrice de Vandermonde et pourrait être mal-conditionnée. Le choix d'une autre base bilinéaire serait peut-être plus adéquat.

Est-ce correct ?