Suites

[Isis-mirka]

Bonjour,
je suis en train de faire un exo sur les suites et je rencontre quelques soucis
Il me faut montrer que ln(1+x)<=x pour x>=0.
J'ai voulu faire un raisonnement par récurrence masi je n'arrive pas au bout. Je me disais qu'il y avait peut etre un e autre méthode pour résoudre cette question mais je ne vois pas laquelle . Quelqu'un en verrait une ? (il faut ensuite en déduire que U1<=U0)
De plus, j'ai une suite définie par U_n+1= ln(1+U_n). On me demande de montrer que Un est bien définie : en sachant que son premier terme est U0=e (exponentielle) et montrer que Un>=0 d'apres l'énoncé mais je ne vois pas comment car je ne sais pas quelles valeurs peut prendre Un dans le ln() car l'étude des "variations de la suite" s'effectue a la question suivante seulement

Merci pour vos renseignements
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[Seirios]

Bonjour,

Pour montrer que , soit tu utilises la concavité du logarithme, soit tu fais une étude de fonction. Pour montrer que pour tout , tu peux raisonner par récurrence.

[toothpick-charlie]

il suffit de prendre l'exponentielle des deux membres et de se rappeler que exp(x) = 1 + x + (termes positifs si x>0)

[PlaneteF]

Bonsoir,

Il me faut montrer que ln(1+x)<=x pour x>=0.
J'ai voulu faire un raisonnement par récurrence masi je n'arrive pas au bout.

Un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout x>=0 ln(1+x)<=x ... ... tu formules cela comment ?!

Sinon il y a aussi le T.A.F. ^(*) qui peut faire le taf (celle là elle est faite ).

^(*) Théorème des accroissements finis

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isis-mirka]

Merci beaucoup à tous avec toutes ces méthodes je devrais y arriverà présent
Je vais donc essayer et je vous recontacte si je rencontre encore des soucis

Merci

[Isis-mirka]

J'ai réussi à faire l'exo précédent, merci
Mais j'ai encore besoin de vous...

En fait , j'ai les systeme suivant:

3X+2Y=a
X+aY=1
aY=a

on a fait un changement de variables en X=x/(x-1) et Y=y² donné par le prof.
Il m'a dit de distinguer plusieurs cas pour a .

Si je prend a=0:
Y est quelconque ? d'apres le troisième équation
X=-(2/3)Y d'apres la premier equation
et X=1 d'apres la seconde équation ? que dois-je faire avec cela ?
Si je répond que Y est quelconque et X=1 si a=0, alors je n'ai pas vérifié l'égalité 3X+2Y=0 mais je la vérifie, c'est-a-dire, que X=-(2/3)Y, alors X=1 n'est pas vérifié ...

Si a non nul, alors:
d'apres la troisième ligne, Y=1
et d'apes la deuxième, X=1-a e d'apres la 1ere, X=(a-2)/3

Merci de votre aide.

[Isis-mirka]

comment faut-il que je fasse puisque j'ai plusieurs conditions (sur X par exemple) et que je ne peux pas les vérifier toutes en même temps (enfin je crois)?

[gg0]

Bonsoir.

Si je prend a=0:
Y est quelconque ? d’après le troisième équation

Absolument pas ! la troisième équation est automatiquement vérifiée par n'importe quelle valeur de Y, mais tu as deux équations encore à considérer, et finalement une solution unique.

Si a non nul, alors:
d’après la troisième ligne, Y=1
et d’après la deuxième, X=1-a e d’après la 1ere, X=(a-2)/3

Oui, reste à finir ...
Y a-t-il des solutions ? Combien ?

Cordialement.

NB : Essaie de finir tes exercices (par exemple ici, résoudre c'est trouver l'ensemble des solutions).

[Isis-mirka]

ah oui..
alors en fait pour a=0, je considère le suysteme deu deux équations a "deux inconnues":
3X+2Y=0
X+0Y=1
et donc comme solution: X=1 et Y=-3/2 sauf erreurs.
Mais d'apres X=x/(x-1), alors le dénominateur s'annule et donc: pas de solutions si X=1 ?

Pour a non nul:
j'ai eu une idée (peut etre fauss..) mais j'ai dit que Y valait 1. ainsi, X=1-a et X=(a-2)/3 et donc 1-a=(a-2)/3 , je résoud et a=5/4
ainsi, on aurait une solution: X=-1/4 et Y=1 ?

Merci

[gg0]

Mais d'apres X=x/(x-1), alors le dénominateur s'annule

Qu'est-ce que tu racontes ? C'est X qui vaut 1, pas x.

j'ai dit que Y valait 1

Pourquoi pas 2 ?
Bon sérieusement, tu cherches la valeur de Y, et tu as trouvé Y=1.

X=1-a et X=(a-2)/3 et donc 1-a=(a-2)/3 , je résous et a=5/4

C'est quoi a ? Une inconnue ? Ou un nombre fixe dont tu n'as pas la valeur ?

[Isis-mirka]

Excusez-moui pour mon langage , je reconnais que se n'était pas cvlair,: j'ai trouvé 1 en effet.
pour "X=1-a et X=(a-2)/3 et donc 1-a=(a-2)/3 , je résous et a=5/4", je m'étai smis dans la tete que a était une variable mais c'est en fait un parametre! mais , alors j'ai déja Y=1 (que j'ai trouvé avant, pas de problemes pour lui) et j'ai aussi deux équations pour X, ce qui voudrait dire que j'ai deux couples de solutions ?:
(X=(a-2)/3,Y=1) et (X=1-a, Y=1)

Merci de votre aide

[gg0]

Non,

tu n'as pas trouvé "deux couples de solutions", mais deux équations d'un même système.
Ce qui ne va pas dans ce que tu fais, c'est que tu ne traites pas le système d'équations en le remplaçant par un système équivalent, mais que tu bricoles sur les équations séparément. Du coup, tu ne sais plus ce que tu fais. Essaie d'écrire correctement :

3X+2Y=a
X+aY=1
aY=a
Comme a est non nul, on obtient :

3X+2=a
X+a=1
Y=1

donc
X=(a-2)/3
X=1-a
Y=1

Si tu ne comprends pas bien regarde ce que ça donne pour des cas particuliers, par exemple a=2, ou a=-1.

[Isis-mirka]

vous avez raison, c'est plus clair et surtout plus rigoureux de cette façon.
mais ce qui me chiffonne , c'est que pour chaque cas particulier (a=2 par ex) , on a deux valeurs de X (0 et -1) pour Y=1 et je bloque sur ça.

merci

[gg0]

On dirait que tu n'as jamais résolu de système. Dans un système, les équations doivent être vérifiées en même temps. Si ton système est équivalent à Y=1 et X=0 et X=-1, quelles sont ses solutions (X,Y). Comment choisis-tu X et Y pour que les trois équations soient vraies ?
En général, c'est en seconde ou première qu'on comprend ça définitivement.

[Isis-mirka]

et bien je dirais qu'il n'y a pas de solutions car X=0 ne vérifie pas (evc Y=1) les 3 equations et X=-1 non plus ...

au fait, j'ai trouvé qu'il n'y avait pas de solution pour le cas a=0 car on avait X=1 et Y=-3/2, or, Y=y^2 , on aurait donc y^2=-3/2 , ce qui est impossible...

[gg0]

Reste à passer au cas général (a quelconque). Il devrait y avoir deux sous cas.

[Isis-mirka]

J'en suis là. En fait, j'ai Y=1 que je reporte dans les autres équation est j'obtiens:
X=a-1 et X=(a-2)/3
mais là que puis-je faire ? les deux expressions de X ne sont pas égales (sauf cas particulier pour lequel a vaudrait 5/4)

[Isis-mirka]

je traite donc le cas a=5/4 et a différent de 5/4 ?
Serait-ce les deux sous-cas dont vous parliez ?

[gg0]

Ben oui !:

N'est-ce pas évident ? Pourquoi ne fais-tu pas confiance à la réflexion sérieuse (une fois qu'on a fait une vraie réflexion) ?

[Isis-mirka]

oui c'est vrai ...
Merci beaucoup en attendant!