* Réciproque * (3id Moubarak sa3id)

[A1]

Bonjour tout le monde !

Je me demandais sur la réciproque du fait que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable .

Il me semble que si elle est diagonalisable dans une base orthonormale alors elle est symétrique . Mais je n'arrive pas vraiment à le prouver . La matrice de passge est triangulaire supérieure certes , mais pas orthogonale-procédé de Schmidt ( je cherche à prouver que t(P) = (P)-1 ) .

Merci de vouloir proposer une démonstration claire au cas où c'est vrai.

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A1
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[invite6b1e2c2e]

Soit une matrice réélle M diagonalisable dans une base orthonormale. Alors il existe une matrice O orthogonale telle que t(O)*M*O = D, avec D diagonale.
Donc M = O *D*t(O) (Rappel : O*t(O)=t(O)*O=Id).
Donc t(M)= t(O*D*t(O))=t(t(O))*t(D)*t(0) = O*D*t(O)=M car t(D)=D puisque D est diagonale.


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rvz

[A1]

Salut rvz , mais la matrice : 1 1

0 1

est diagonalisable mais pas symétrique .

Désolé , j'ai pas su comment bien écrire la matrice sans latex . En tout cas : ce sont deux uns dans la première ligne , 0 et 1 resp. dans la deuxième.
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A1

[GuYem]

La réciproque est vraie quand la matrice est diagonalisable DANS UNE BASE ORTHONORMALE.

Elle est fausse en général comme le montre ton contre exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[A1]

Mais ou est l'erreur dans la démonstration de rvz ??

[matthias]

Il n'y en a pas je pense, il a bien pris une matrice diagonalisable dans UNE BASE ORTHONORMALE.

[GuYem]

Il n'y a pas d'erreur.

Il est parti d'une matrice diagonalisable DANS UNE BASE ORTHONORMALE (encore une fois en majuscule pour que tu le vois bien)

La tienne ne l'est pas.

[GuYem]

Il n'y en a pas je pense, il a bien pris une matrice diagonalisable dans UNE BASE ORTHONORMALE.

lol eh bin si avec tout ça on la voit pas LA BASE ORTHONORMALE !

[A1]

Si Si Je la vois très très bien les gars ...Mais je l'aurais mieux vue si c'était en italique !!

Merci !!

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A1

[invite6b1e2c2e]

Salut rvz , mais la matrice : 1 1

0 1

est diagonalisable mais pas symétrique .

Désolé , j'ai pas su comment bien écrire la matrice sans latex . En tout cas : ce sont deux uns dans la première ligne , 0 et 1 resp. dans la deuxième.
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A1

Juste pour dire : La matrice que tu as écrite n'est pas diagonalisable. En effet, les valeurs propres étant 1 uniquement, si elle l'était, elle serait semblable à l'identité, et serait donc égale à l'identité...
Mais si tu veux un exemple d'une matrice qui serait diagonalisable, mais pas symétrique, prends la matrice
1 1
0 2
Elle est diagonalisable car elle a deux valeurs propres distinctes, et elle n'est manifestement pas symétrique.

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rvz

__
rvz