Ruban, ciseau, et regle !

[invite4f96fd60]

Imaginez que l'on ait un nombre impair de ruban a coller sur une regle graduée.
Le ruban 1 fait 4^1 cm
le 2 fait 4^2 cm moins le nombre total de CM des ruban precedents (16-4)
le 3 fait 4^3 cm moins le nombre total de CM des ruban precedents (64-16)
etc.........

On colle dans l'ordre nos ruban sur la regle en les metant bout a bout.
La regle est gradué en CM.
Pour un nombre X de ruban (on le rapelle, X est impair), trouver la longueur minimale de la regle qui est graduée en un nombre impair de cm; le jeu consistant a couper au ciseau le ruban qui depasserait de la regle et de coller ce morceau a nouveau en debut de regle (mais sans tomber sur 1). Le jeu etant egalement a finir de coller le dernier ruban pour qu'il tombe sur la graduation : (Nombre de cm de la regle+1)/2
Ex: Avec 1 ruban, on a une regle minimale de 7cm et on tombe bien sur 4 ((7+1)/2).

La question est : Y a t'il un processus mathematique (qui m'echappe) pour calculer automatiquement la longueur minimale de la regle en fonction d'un nombre X de ruban ??

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[yat]

Tout semble clair (y compris l'exemple), excepté cette phrase :

le jeu consistant a couper au ciseau le ruban qui depasserait de la regle et de coller ce morceau a nouveau en debut de regle (mais sans tomber sur 1).

Là je vois pas... dans l'exemple, on ne coupe rien du tout.

Sinon, pour la partie que j'ai compris, c'est trivial, donc j'ai pas du bien comprendre... la longueur totale des x rubans est forcément 4^x, donc la longueur minimale de la rêgle est tout simplement 4^x*2-1

[invite4f96fd60]

Deja, excusez moi, mais on peux aussi choisir un nombre pair de ruban.
Sinon, pour la phrase que tu ne comprend pas, imagine 3 rubans
Le premier va tomber sur 4
Le deuxieme va tomber sur 16 cm
mais si on teste une regle de 9 Cm, on decoupe les 7 cm qui depassent et on recolle ce morceau en debut de regle.
Quant a la graduation 1 de la regle, il est interdit d'y faire arreter un ruban.
Par exemple, avec un ruban, on pourrait choisir une regle de 3 cm mais le report de morceau de ruban fini sur le 1 de la regle (et ca on n'a pas le droit)

[invite00d586ad]

Bonsoir,

D'apres ce que j'ai compris et ce que j'ai essayer, il n'éxiste pas de processus autre que celui de Yat :

la longueur totale des x rubans est forcément 4^x, donc la longueur minimale de la rêgle est tout simplement 4^x*2-1

En effet j'avais penser à diviser la longueur total de ruban par 3 (on obtiens un nombre à virgule) et de multiplier ce nombre par deux. En prennant pour longueur de règle l'entier supérieur au nombre trouver, l'on se retrouve très proche de l'objectif

Le jeu etant egalement a finir de coller le dernier ruban pour qu'il tombe sur la graduation : (Nombre de cm de la regle+1)/2

Malheuresement cela ne tombe jamais juste (tres proche) !
Exemple pour 3 rubans : la longueur total de ruban vaut 4³=64
(64*2)/3=42.6666 etc...
En prennant pour longueur de regle 43, il est possible d'obtenir quelque chose de proche :
(43+1)/2=22 or la fin des rubans se trouve en 21...

Par contre, si l'objectif était

Le jeu est de finir de coller le dernier ruban pour qu'il tombe sur la graduation : (Nombre de cm de la regle-1)/2 (soustraction avec 1 et non addition)

cela fonctionnerait.
(43-1)/2=21

Ce que j'ai fais est un peu trivial mais je n'ai pas d'autres idées (cela peut être une piste...)
(désolé si je n'ai pas été très clair dans mes explications)

Bonne soirée

[A voir en vidéo sur Futura]

[yat]

imagine 3 rubans
Le premier va tomber sur 4
Le deuxieme va tomber sur 16 cm
mais si on teste une regle de 9 Cm, on decoupe les 7 cm qui depassent et on recolle ce morceau en debut de regle.
Quant a la graduation 1 de la regle, il est interdit d'y faire arreter un ruban.

Ok. Est-ce qu'on a le droit de couper un ruban plusieurs fois ? Faut-il trouver les combinaisons qui tombent exactement sur la graduation voulue, ou bien pour tout nombre de rubans, trouver la longueur de rêgle qui s'en approche le plus ?

[invite4f96fd60]

Ok. Est-ce qu'on a le droit de couper un ruban plusieurs fois ? Faut-il trouver les combinaisons qui tombent exactement sur la graduation voulue, ou bien pour tout nombre de rubans, trouver la longueur de rêgle qui s'en approche le plus ?

- Le ruban est coupable plusieurs fois (accusé, levez vous !!)
- Il faut absolument eviter le chiffre 1
- il faut trouver la longueur precise de la plus petite regle possible.
- le centre de la regle est precisement la ligne d'arrivée

--- Cependant, au vue des bonnes idées du dessus, j'accepte que l'on m'indique la longueur de toutes les regles suspectes qui peuvent remplir ce role (en fonction peut etre du reste de la division, bref, exploitez vos idees)

[matthias]

Il y a un truc que je ne pige pas. Si on colle les rubans bout à bout et si on coupe ce qui dépasse pour le recoll au débuter, autant prendre 1 seul ruban, ça revient exactement au même.
Si en plus tu as modifié les règles et qu'on a le droit à un nombre pair ou impair de ruban, alors autant prendre un seul ruban de longueur 4ⁿ avec n>= 1 quelconque.
On veut donc pour n >= 1 le plus petit N impair tel que 4ⁿ = (N+1)/2 [N]
C'est bien ça ?

[invite4f96fd60]

Il y a un truc que je ne pige pas. Si on colle les rubans bout à bout et si on coupe ce qui dépasse pour le recoll au débuter, autant prendre 1 seul ruban, ça revient exactement au même.
Si en plus tu as modifié les règles et qu'on a le droit à un nombre pair ou impair de ruban, alors autant prendre un seul ruban de longueur 4ⁿ avec n>= 1 quelconque.
On veut donc pour n >= 1 le plus petit N impair tel que 4ⁿ = (N+1)/2 [N]
C'est bien ça ?

Heu, oui, exact.
Mais n'oublions pas qu'aucun ruban ne doit tomber sur la graduation "1". Donc, prendre un seul ruban, pkoi pas mais y a t'il une formule qui reste rapidement toutes les fins de rubans ?

Mais ceci dit, ton idée simplifie grandement les choses !!

[matthias]

y a t'il une formule qui reste rapidement toutes les fins de rubans ?

Désolé je ne comprends pas. Tu peux reformuler ?

[invite4f96fd60]

Désolé je ne comprends pas. Tu peux reformuler ?

Imaginons 3 rubans. Cela arrive a 4cm (1er ruban), 16cm (2eme ruban), 64cm (3eme ruban)
Si tu prend 1 seul ruban de 64 cm, pourquoi pas mais tu ne sais pas si les vrai rubans finissent sur le chiffre interdit "1"
A la limite, ignorons pour l'instant cette regle du "1"

[matthias]

Ah, ok, aucun ruban ne doit finir sur le 1 ?

[invite4f96fd60]

Ah, ok, aucun ruban ne doit finir sur le 1 ?

Oui, exactement

[matthias]

C'est marrant de constater qu'il y a encore un rapport avec les nombres de Mersenne.

[matthias]

A la limite, ignorons pour l'instant cette regle du "1"

Si on ignore cette règle, je pense que pour N (longueur de la règle), il faut prendre le plus petit facteur premier de où n est le nombre de rubans.

Malheureusement, cela ne respecte pas tout le temps la règle du "1" (pour n = 4 par exemple).