Problème sur le voisinage d' un point

[Cauchy-Shwarz]

Bonjour ! Afin de répondre à une question, je dois premièrement démontrer le résultat suivant :

Soit f une fonction de réels, dérivable sur un segment I et soit e appartenant à ce segment, tel que :

f(e)=0 et f '(e)<0 montrer qu' il existe un voisinage V= ]e,e+t[ ( avec t réel) , tel que :


pour tout x de V : f(x)<=0 (inférieur ou égal)



J' aurais bien aimé démontrer ce joli résultat seul, mais de toute évidence je n' y arrive pas , donc un peu d' aide serait vraiment la bienvenue , merci d' avance !
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[shlagable]

Je pense que tu peux considérer que (f(e)-f(x))/(e-x) tend vers une limite STRICTEMENT négative (j'insiste sur le strictement qui est le seul argument important) donc il existe un voisinage de ]e,e-t[ sur lequel (f(e)-f(x))/(e-x) est strictement négatif... Voila, place toi sur ce voisinage, et je te laisse finir

[gg0]

Bonjour.

Pourquoi parler de voisinage alors que le seul point en cause est e et que ]e,e+t[ n'est pas un voisinage de e ?

Cordialement.

[Elwyr]

Bonsoir,

Cet argument ne fonctionne que si f' est supposée continue, donc f de classe C1... Ce qui n'est pas le cas selon l'énoncé fourni ici. Après, c'est vrai que c'est beaucoup plus facile comme ça... Et d'ailleurs, ça me semble faux dans le cas contraire (puisque je n'ai pas trop de mal à imaginer une fonction dérivable, donc la dérivée en e vaudrait quelque chose de négatif, et la dérivée pour tout x supérieur à e strictement positive).

Après, dire que je n'ai pas de mal à la concevoir, c'est pas la construire... Quelqu'un a-t-il un exemple ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Cauchy-Shwarz]

shlagable, merci pour ta réponse mais je n' arrive pas finir

Effectivement , mea culpa , je modifie donc : V=[e,e+t[ avec t strictement positif ( j' ai exclu e avant de poster me disant qu' il posait probleme, en perdant de vu qu' il ne s' agissait alors plus d' un voisinage de e)

[Tryss]

On peut faire un développement de Taylor de f en e :

f(e+h) = f(e) + h f'(e) + h r(h)

Où r(h) est une fonction qui tend vers 0 quand h tend vers 0

Et en traduisant ce que ça veut dire que r(h) tend vers 0, on montre facilement l'inégalité


Après, ça nécessite d'avoir le théorème de Taylor

[Cauchy-Shwarz]

Elwyr l' inégalité n' est pas f '(x)<=o mais f(x)<=0


Tryss , merci pour ta réponse. J' avais déjà essayé en appliquant Taylor Young, me disant qu' il fallait relier f(x) et f '(e) , mais le o(h) me pose soucis, je ne sais pas comment me débrouiller par passer de f(e+h)= h f' (e) +o(h) à f(e+h)<=0 ( je sens bien que la solution est toute proche, me trouve un peu bête là )

[Tryss]

Elwyr l' inégalité n' est pas f '(x)<=o mais f(x)<=0


Tryss , merci pour ta réponse. J' avais déjà essayé en appliquant Taylor Young, me disant qu' il fallait relier f(x) et f '(e) , mais le o(h) me pose soucis, je ne sais pas comment me débrouiller par passer de f(e+h)= h f' (e) +o(h) à f(e+h)<=0 ( je sens bien que la solution est toute proche, me trouve un peu bête là )

En fait, tu peux écrire que où est une fonction qui tend vers 0 quand h tend vers 0 (habituellement, on la note epsilon(h), mais j'utilise le epsilon dans la suite )

Donc comme tend vers 0 quand h tend vers 0, quelque soit il existe un t>0 tel que si alors

Il suffit alors de prendre (par exemple)


Donc tu va avoir que sur [e,e+t], o(h) < -h f'(e)/2


Note qu'il faut quand même que f' soit continue en e pour pouvoir appliquer Taylor

[Cauchy-Shwarz]

Amen !

Merci beaucoup !! Je me sens tout petit

[Elwyr]

Elwyr l' inégalité n' est pas f '(x)<=o mais f(x)<=0

Oui, oui, certes, mais ce n'était pas mon problème. Je pensais pour ma part au théorème des accroissements finis : pour une fonction dérivable sur un segment (considérons ici [e,x]), il permet d'affirmer que . Si on suppose f' continue, il existera un petit intervalle ouvert sur lequel le signe de f' sera connu, et on peut conclure en multipliant par (x-e) (dont on connaît le signe). Si f' n'est pas continue, en revanche... On pourrait imaginer qu'il se passe n'importe quoi.

L'idée de Shlagable est meilleure parce qu'elle s'affranchit de la continuité de la dérivée : on considère la fonction . Cette fonction est manifestement continue et a manifestement une limite quand x tend vers e (c'est un peu la définition d'une dérivée). On peut donc connaître son signe si x est assez proche de e, et conclure par des manipulations d'inégalités (x-e est positif si x est plus grand que e, ce qui, coup de chance, est le cas ici).

J'en déduis que mon exemple de fonction dérivable, mais pas C1, n'existe pas ou ne réagit pas comme je le souhaiterais... Tant pis.

[Cauchy-Shwarz]

Oui ! escuse moi je t' avais mal lu. He non pas de mention de la continuité de f' dans les hypothèses, donc je vais rédiger avec l' idée de Shlagable, d' ailleur je me demande comment je me suis débrouiller pour ne pas aboutir grâce à sa fonction h tout à l' heure --'' , la fatigue peut- etre
Merci pour vos réponses rapides

[Tryss]

J'en déduis que mon exemple de fonction dérivable, mais pas C1, n'existe pas ou ne réagit pas comme je le souhaiterais... Tant pis.

Si si, il existe des fonctions dérivables mais pas C1, par exemple la fonction f(x) = -x²sin(1/x) prolongée par 0 en 0

Sa dérivée pour x différent de 0 est f'(x) = cos(1/x)-2x sin(1/x) , et f'(0) = -1


Et la fonction f n'est de signe constant sur aucun intervalle de la forme [0, T[ (le sinus fait osciller de plus en plus vite la fonction)

[Tryss]

Edit : double post involontaire de ma part


La fonction que j'ai donné est un contre exemple si f n'est pas C1 mais juste dérivable

[Tryss]

Rho, j'écris des bêtises, f'(0) = 0, faudrait vraiment que j’arrête de poster passé minuit

[gg0]

Bonjour.

Je n'ai pas compris pourquoi ce post s'éternisait : la démonstration proposée par Elwyr dès le premier message est irréprochable : Elle ne demande que "f dérivable en e" -alors qu'elle est dérivable plus largement- "f(0)=0 et f'(0)<0". Puisqu'elle n'utilise que la définition de f'(e).

Cordialement.