polynome de tchebychev

invite15e3e0e7 · 12/04/2013, 16h43

bonjour

j'ai une petite question concernant les polynomes de tchebycheve ,je veux montrer l unicité du polynome . j'ai deja montré que Tn(cosA)=cos(nA)

pout tt n de IN ,A de IN . est ce que on peut dire directement que Son unicité découle directement du fait que la fonction cos (nt) est unique?

Merci de me répondre ^^

invite8ac20103 · 12/04/2013, 17h26

Bonjour,

Que veux dire : " la fonction cos(nt) est unique" ?

Cdt

invite15e3e0e7 · 12/04/2013, 18h15

je voulais dire l unicite de l ectriture Tn(cosA)=cos(nA)

invite427a7819 · 12/04/2013, 21h22

Bonsoir,

On peut douter de l'unicité (a priori) dans la mesure où si vous vous donnez deux polynômes qui vérifient ça, vous ne pouvez pas les comparer comme ça de but en blanc en, mettons, 12, parce que vous ne connaissez pas l'expression de l'un ou l'autre des polynômes en 12 (qui n'est cos de personne, ou alors d'un complexe mais c'est une autre histoire).

Il y a donc deux solutions :
a) Vous êtes capable de donner une expression du polynôme en question (et par là je veux dire expliciter ses coefficients). Un polynôme est entièrement déterminé par ses coefficients, si vos coefficients sont uniques, youpi !
b) Vous n'avez pas d'expression des polynômes sous la main, et il va falloir ruser... Vous pouvez vous donner deux polynômes vérifiant l'égalité voulue, et essayer de montrer que la différence est nulle. Connaissez-vous quelques conditions suffisantes pour qu'un polynôme soit nul ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite15e3e0e7 · 13/04/2013, 00h35

j' ai une relation recurrente du polynome de tchebychev c 'est : T_n+2=2XT_n+1 -T_n pour tt n de IN

AVEC T0=1 ,T1=X. POUR l'unicite j'ai consideré qu il existe un autre polynome qui verifie la relation ( Q_n(cosA)=cos(nA)) ce polynome

verifie necessairement Q0=1,Q1=X.. et par recurrence j'ai prouvé que ce polynome Q n'est que en verité le polynome T ,d'ou l unicité..

EST ce que c'est juste comme raisonnement ??

Merci de me répondre ^^

invite427a7819 · 13/04/2013, 19h19

Bonsoir,

Ce raisonnement est peut-être correct... Mais au moins mal formulé. D'un côté, vous dites que vous vous donnez 1 polynôme qui vérifie la relation, et puis tout à coup vous vous donnez (semble-t-il) une suite de polynômes (Q0, Q1... Et tous les suivants jusque Qn) pour pouvoir appliquer vos raisonnements de récurrence.

C'est peut-être possible de faire un raisonnement de ce style, à condition de bien formuler l'hypothèse de récurrence. Si vous pouvez vérifier qu'il existe un seul polynôme T0, un seul polynôme T1 qui vérifient les relations que vous dites, puis que si vous vous êtes assurée de l'unicité aux rangs n et n+1 alors vous pouvez la montrer au rang n+2, en disant que cette relation de récurrence serait nécessairement vérifiée par tout polynôme tel que Q_n+2(cosA) = cos((n+2)A), vous pourrez conclure. Mais tel que vous le formulez... De plus, vous énoncez que Q1 est nécessairement X, mais pourquoi cos ne pourrait-il pas s'écrire comme un polynôme plus compliqué en cos ?

Répondre à cette question pour Q1 ou pour Q_n reviendra à peu près au même. Fixons un n quelconque, et donnons-nous deux polynômes vérifiant la relation voulue. On veut montrer qu'ils sont égaux, donc que leur différence est nulle. Que dire, justement, des racines de la différence ?

invited9b9018b · 13/04/2013, 19h49

Bonjour.

Je suis d'accord avec Elwyr. Le plus simple est de s'intéresse aux racines de deux polynômes vérifiant la propriété en question. (En s'intéressant à une intervalle bien particulier)

A+

invite15e3e0e7 · 13/04/2013, 22h50

bon j'ai reformulé ma demonstration :

soit T et Q deux polynomes a coefficients reels tels que pour tout reel x de IR T_n(cosx)=Q_n(cosA) posons R=T-Q

Par hypothese pour tout nombre reel x de IR R_n(cosx) est nul ,J'en deduis que R possede une infinité de racines distinctes donc R

est le polynome nul d'ou T=Q.

c'est juste comme demonstration ??

MERCI de me répondre vite

invited9b9018b · 13/04/2013, 23h29

Bonsoir,

Envoyé par andromedae

bon j'ai reformulé ma demonstration :

soit T et Q deux polynomes a coefficients reels tels que pour tout reel x de IR T_n(cosx)=Q_n(cosA) posons R=T-Q

Par hypothese pour tout nombre reel x de IR R_n(cosx) est nul ,J'en deduis que R possede une infinité de racines distinctes donc R

est le polynome nul d'ou T=Q.

c'est juste comme demonstration ??

MERCI de me répondre vite

Si vous n'êtes pas sur de votre propre démonstration ce n'est pas bon.
Il faut que vous soyez capable d'affirmer que chaque étape est correcte. Si c'est le cas la preuve est bonne.

Ce que vous avez dit est juste. En fait tout réel de [-1,1] étant racine de Tn-Qn ça marche. Maintenant peut être que vous n'êtes pas sur de vous à cause de l'affirmation suivante : "Par hypothese pour tout nombre reel x de IR Rn(cosx) est nul" qui est peut être un peu rapide. Essayez de rendre cela plus explicite dans votre raisonnement.

A+

invite15e3e0e7 · 14/04/2013, 00h03

je vais essayer ! mercii

invite135f7d11 · 26/10/2015, 17h31

Bonjour, j'ai à peu près la même question :
Soient f et g deux polynômes réels tels que f (cosx) = g (cosx).
Montrer que f-g a une infinité de racines.

Cependant je n'arrive pas à trouver qu'écrire pour expliciter le raisonnement qu'a fait andromedae : faut-il dire dans mon cas que :

"f-g est alors le polynôme nul, donc il possède une infinité de racines."

tout simplement ?

Merci d'avance pour vos réponses.
Bipattes

invited9b9018b · 26/10/2015, 19h27

Bonsoir,

Le but est surement de montrer que f-g = 0, vous ne pouvez donc pas l'utiliser... Pour cela on vous dit de montrer que f-g possède une infinité de racines.

D'après ce que vous savez sur f et g, si un nombre peut s'écrire cos x où x est un réel, que peut on dire de son image par f-g ?

A+

invite135f7d11 · 27/10/2015, 12h59

Et bien cos x est compris entre -1 et 1, donc l'image de cos x par f-g est aussi compris entre -1 et 1 ?

invite23cdddab · 27/10/2015, 14h42

Le raisonnement correct, c'est celui là :

Soit $\text{[math]}$ , alors il existe $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$

Ainsi $\text{[math]}$ est une racine de $\text{[math]}$ .

Conclusion : le polynôme $\text{[math]}$ a une infinité de racines (au moins tout les nombres dans [-1,1]) et est donc nul.

invite83790921 · 27/10/2015, 17h21

Bonjour,

Pour cette question je pense que la meilleur façon de répondre est de trouver ce polynôme directement, donc on aura existence et unicité en même temps.
Pour cela on calcule exp(nA)=(exp(A))^n puis en prenant la partie réelle, le calcul est un peu long mais l'avantage c'est que cela répond à la question de manière efficece.

Merci.

invited9b9018b · 27/10/2015, 18h10

Tryss, ne le prenez pas mal, mais vous donnez toujours directement la réponse des exercices

?

A+

invite135f7d11 · 28/10/2015, 23h13

Merci pour vos réponses !

Je vais prendre ton raisonnement Tryss2, mais merci quand même happynewyear de t'être intéressé à mon problème !

invite135f7d11 · 29/10/2015, 11h10

J'ai encore un petit problême ^^

"En observant le théorème de D’Alembert-Gauss, montrer que, pour p entier naturel, il existe au plus un polynôme fp tel que quelque soit x appartenant à R, cos(px) = fp(cosx)."

Grâce au théorème, je sais que tout polynôme complexe de degré non nul possède une racine (on a vu que nos polynômes en possèdent même une infinité), et que tout polynôme complexe non nul s'écrit comme produit de polynômes du premier degré comme a*pi (pour k allant de 1 à p)*(X-alphak)

Cependant, je ne vois pas du tout comment démontrer l'unicité du polynôme.

Merci d'avance pour vos réponses !
Bipattes

invited9b9018b · 30/10/2015, 20h18

Bonjour,

De quelles polynomes parlez vous quand vous dites "on a vu que nos polynômes en possèdent même une infinité". Parce que le seul dans ce cas c'est le polynome nul et je ne pense pas que ça soit le sujet de l'exercice.

En tout cas : pour montrer qu'il existe au plus un polynome $\text{[math]}$ satisfaisant cette égalité pour tout p, vous pouvez montrer que s'il en existe deux, alors ils sont égaux. Sans oublier de réutiliser des résultats qui précèdent...

A+

invite135f7d11 · 31/10/2015, 01h15

Ah oui, c'est vrai que les polynômes fp sont les polynômes de Tchebychev donc ils n'ont pas une infinité de racines.

Je vous joins le lien du problème entier : http://pdf.lu/hY2A

Merci pour cette réponse, je vais essayer de trouver comment écrire cela.

Autre question : à la question 5, je pensais vérifier l'existence de la suite par récurrence en utilisant les matrices, mais pour la proposition Pn+1, j'arrive à la multiplication d'une matrice 2 lignes 1 colonne qui se multiplie par une matrice 2 lignes 2 colonnes, donc ça ne marche pas

polynome de tchebychev