Bonjour,
Je souhaite avoir votre avis sur l'article ci-joint qui traite du théorème de Fermat-Wiles et du critère d’irréductibilité d’Eisenstein comme outil pour sa démonstration.
http://happy-arabia.net/Fermat-Wiles-Eisenstein.pdf
En vous souhaitant une bonne lecture et en vous remerciant d'avance pour votre réponse.
Cordialement
Ahmed Idrissi Bouyahyaoui
Fermat-Wiles-Eisenstein.pdfFermat-Wiles-Eisenstein.pdf
Bonjour,
Apparemment, sauf erreur de ma part, votre argument est le suivant:
Vous prenez un polynome P(x) à coefficients dans Z, vous le réduisez modulo un entier premier k, vous trouvez x^p-pa où a est non nul dans Z et p premier, et vous en déduisez que le polyn\^ome de départ P est irréductible dans Z.
Contre-exemple: P(x)=x^5+1, qui n'est clairement pas irréductible dans Z[x]; prenez k=3, on a P(x) congru à x^5-5, qui est de la bonne forme avec p=5.
Cordialement.
Bonjour,
Dans la réduction modulo k (k premier) en question, c'est la classe pour le module k qui est considérée :
on retient ai ou Ck(ai) la classe de ai dans la congruence modulo k, ai étant un coefficient de P(X) .
Cordialement
Bonjour,
Je ne comprend pas votre objection au contre-exemple, il me semble que choisir un représentant d'une certaine forme dans une classe d'équivalence ne fait rien à l'affaire. D'autre part, par réduction modulo k, vous avez obtenu x^p-pv^{p-1}.
Mais qu'est-ce qui vous prouve que ceci est écrit comme vous l'indiquez, avec les bons représentants des restes modulo k ?
D'autre part, voici un nouvel exemple: k=5, p=3: le polyn\^ome x^3-8 est réductible dans Z[x], mais sa réduction modulo 5 est x^3-3. (et là, 3 est bien le représentant usuel de la classe de 8 modulo 5).
Cordialement.
Bonsoir,
Vous avez tout à fait raison.
Voici le principe de réduction modulo p que j'ai utilisé :
Si PZ[X] est unitaire et si R=P [p] est irréductible dans Zp[X] où p est un nombre premier, alors P est irréductible dans Z[X].
Il y a certainement quelque chose qui m'échappe.
D'où provient l'erreur ?
Cordialement
Bonjour,
En fait votre raisonnement est le suivant:
Soit P un polyn\^ome à coefficients dans Z, disons unitaire. On veut montrer qu'il est irréductible dans Z[x]. Pour cela, on regarde sa réduction modulo un entier premier k. Si ce polyn\^ome est irréductible dans Z/kZ[x], alors il l'est dans Z[x]. Ce schéma est tout-à-fait valide; mais c'est dans la manière de montrer que le polyn\^ome réduit modulo k est irréductible dans Z/kZ[x] que cela ne va pas: comme vous n'avez pas de critère pour montrer cette irréductibilité dans Z/kZ[x], vous le remontez dans Z[x], et vous utilisez Eisenstein pour un nombre premier p a priori différent de k. C'est cet argument qui est incorrect, comme le montre les exemples (et vous mélangez les cas de Z[x] et Z/kZ[x]).
Autrement dit, le résultat suivant est incorrect:
"Soit P un polynome unitaire à coefficients dans Z, k et p deux nombres premiers distincts. Soit Q un polyn\^ome de Z[x], on suppose que P est congru à Q modulo k. Si Q est irréductible dans Z[x] (ou si Q est un polynome vérifiant le critère d'Eisenstein pour p, dans Z[x]), alors P est aussi irréductible dans Z[x]."
Désolé pour votre idée, elle était ingénieuse.
Cordialement.
Bonjour,
Effectivement, le contre-exemple que vous avez donné montre bien mon erreur :
P(X) = X3-23 de réduction modulo 5 :
R(X) = X3-3 .
P(X)
R(X) est réductible dans Z5[X] et on ne peut pas conclure (cas général) .
La démonstration de "(y+1)p = yp + xp, p premier impair, est impossible" est correcte (je crois), page 4 c) .
Cordialement
(suite) correctif :
Logiquement, R(X) = X3-3
Bonjour,
la valeur de ce théorème est nulle,
0 = 3x2y + 3xy2
xn+yn = kn ===> x = 0 et y = 0
