Petit exo de spé math d'un DM

[invite9e7c75da]

Voilà l'exo:
Trouvez un nombre de quatre chiffres qui est un carré parfait et tel que, lorsqu'on augmente chacun de ses chiffres d'une unité, on obtient encore un carré parfait.

Conseillez moi et aidez moi svp.
-----

[matthias]

Quelle est la différence des 2 carrés ?

[invite9e7c75da]

On ne sait pas, nous n'avons que ça dans l'énoncé.

[matthias]

Si si on sait

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e7c75da]

tu as une idée???

[matthias]

C'est à peu près la seule chose que l'on puisse déduire immédiatement de l'énoncé que tu as donné.
Tu prends un nombre de 4 chiffres, tu en crées un deuxième en augmentant chacun de ses chiffres d'une unité, quelle est la différence des deux ?

[invite9e7c75da]

1111??? non ??? mais je ne vois pas en quoi cela peut aider, tu peux détailler stp

[GuYem]

Au lieu de détailler on va plutôt continuer à te poser des questions !

Donc 1111 c'est égal à la différence des deux carrés. Tu connais tes identités remarquables ?

[invite9e7c75da]

oui et je pense que je vais devoir utiliser (a-b)(a+b) dont a² sera le premier nombre à quatre chiffres et b²=a²+1111
je ne me trompe pas?? mais comment trouver a et b sans utiliser la méthode de tatonnement? merci de votre aide, j'avais pas pensé aux identités remarquables mais plutôt aux congruences

[matthias]

Tu as b²-a² = 1111, donc (b-a)(b+a) = 1111, on est d'accord (tu avais inversé a et b).
b-a et b+a sont donc des entiers qui divisent 1111.

[Père Occide]

Salut.
Mais les congruences sont ici très utiles...

[invite9e7c75da]

Ok merci et donc là je pense à l'ensemble des diviseurs de 1111 qui est : (1;11;101;1111) ensuite je pose un système avec b+a=un diviseur de 1111 pareil pour b-a et j'obtient une équation que je résouds et j'obtient 56 et 45 (tout en gardant à l'esprit que les solutions de l'équation doivent avoir un carré à quatre chiffres) et ensuite je fais une vérification et j'en déduit le résultat. Je ne me suis pas trompé??? merci beaucoup

[matthias]

C'est bon.
Le nombre que tu cherchais est donc 2025 = 45²

[invite9e7c75da]

Merci et maintenant il ne me reste qu'a intégrer les congruences juste aprés l'identité remarquable. merci encore (ce forum est vraiment génial)