Simple question

[dalfred]

Bonjour,

La multiplication de deux ouverts ou deux fermés donne quoi.
Je m'attends à ce qu'on dise on ne peut pas savoir ça dépend mais je vois pas d'exemple qui montre que la multiplication de deux fermés est un ouvert.

Merci, Stai.
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[gg0]

Bonjour.

Qu'appelles-tu " multiplication de deux ouverts" ? Il y a au moins deux sens possibles : le produit cartésien d'ensembles (ensemble produit, ensemble des couples) et, dans une situation où l'espace topologique est muni d'une opération appelée produit, l'ensemble des produits d'éléments de l'un et de l'autre.
Pour le premier cas, si on prend O un ouvert de E et U un ouvert de F, alors OxU est par définition un ouvert de ExF pour la topologie produit.
Pour le deuxième cas, comme il est difficile de traiter le cas général (tout dépend de l'opération), j'attendrai que tu précises un peu plus quelle est la situation précise que tu as en tête. Car dans avec le produit (a,b)->a*b=0, le produit de deux ouverts est toujours {0} qui est un fermé non ouvert.

Cordialement.

[dalfred]

Je vois pas trop la différence entre ce que vous dites.
Je pensais à un exemple dans R².

d'ou doit être supérieur
Puis elle impose soit supérieur ou égal à tandis que doit être supérieur à

Donc je me suis dit si on doit resoudre
on arrive à [ mais si par exemple on avait eu ca donne quoi un fermé ?

[gg0]

Bonjour.

Je vois pas trop la différence entre ce que vous dites.

C'est grave ! Tu ne fais pas la différence entre et (2;3) ?

Je n'ai pas trop compris la suite non plus ! C'est qui "elle" ? et quel rapport entre [ (*) et ta question initiale. Ne serait-ce pas , qui, comme produit cartésien d'ouverts est (par définition de la topologie choisie sur ) un ouvert ?

Enfin, pour ta question finale, le produit cartésien de deux intervalles fermés est un fermé. Le démontrer serait un excellent exercice que tu pourrais faire (faire un dessin !).

Cordialement.

(*) tu aurais pu l'écrire complétement en LaTeX avec \infty pour .

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour,

La multiplication de deux ouverts ou deux fermés donne quoi.
Je m'attends à ce qu'on dise on ne peut pas savoir ça dépend mais je vois pas d'exemple qui montre que la multiplication de deux fermés est un ouvert.

Merci, Stai.

Attention, la plupart des sous-ensembles, généralement, ne sont ni fermés ni ouverts.

[toothpick-charlie]

si la question est de savoir si la partie de R^2 qui est l'ensemble des couples (x,y) tels que y>1/(x^2+1) est ouverte ou fermée, cet ensemble n'est certainement pas un produit d'ouverts. Mais est-ce bien la question posée? ce n'est pas clair pour moi.

[gg0]

Non,

ça ne semble pas être la question. D'autant que la condition se réécrit facilement y(x²+1)>1 et donc qu'on cherche la nature topologique de l'image réciproque de par la fonction continue f définie par f(x;y)=y(x²+1).

Cordialement.

[dalfred]

Non toothpick ce n'est pas ca la question, la reponse je la connais, je voulais juste savoir si le produit de deux ensembles fermés donne bien un fermé, gg0 m'a répondu oui.
En revanche la produit de deux ouverts ne donne pas un ouvert je crois.

[gg0]

Toujours la même imprécision !

Le produit de deux intervalles fermés. Je ne me suis pas prononcé sur le cas général.
Si tu confonds fermé et intervalle fermé, tu vas avoir des ennuis.

Pour le produit de deux ouverts, j'ai traité le cas dans ma première réponse, tu aurais pu avoir la politesse d'en tenir compte pour ne pas dire des énormités.

Fais un peu attention à ce qui se passe !

[dalfred]

Ce que je voulais dire c'est que le produit de deux ouverts ne donne pas forcement un ouvert

[gg0]

Si,

et je te l'ai dit au message #2.

Tu mélanges avec "un ouvert du produit n'est pas forcément le produit de deux ouverts" peut-être ?

En tout cas, il te manque probablement quelques bases sur la topologie, quelle que soit la façon dont on te l'a enseigné. Tu ferais bien de reprendre, et, si ça ne fait pas partie de tes cours, de prouver (c'est facile) que le produit de deux ouverte en est un (pour la topologie produit, bien sûr !). On trouve ça dans tous les bons cours. Pour et , et la topologie de la distance, c'est simplement le fait que dans tout carré ouvert on peut placer des disques ouverts.

Cordialement