Bonjour,
J'ai bientôt un examen sur les probas et je suis un peu perdu, j'ai récupéré deux anciens partiels mais je ne suis pas sûr des réponses, pouvez vous me dire ce qui est juste ou me mettre sur la piste si c'est faux ?
Il s'agit d'un exam d'école d'ingé niveau M3 alors si mes réponses sont trop simplistes dites le moi.
1) Qu'est ce qu'une variable aléatoire ?
Une variable aléatoire est un nombre non connu à l'avance parmi un univers.
2) Une variable aléatoire discrète peut-elle prendre des valeurs réelles (non entières) ?
Non, une variable discrète est par définition entière.
3) Sous quelles conditions peut-on dire que l'espérance d'une somme de variables aléatoires est la somme des espérances de ces variables aléatoires ?
A condition que ces variables aléatoires aient toutes la même espérance.
4) Qu'est-ce qu'une probabilité ?
Une probabilité est la possibilité entre 0 et 1 qu'un événement se produise.
5) Quelle est la différence entre espérance mathématique et moyenne empirique ?
Une moyenne empirique s'appuie sur un certain nombre d'expériences réelles alors que l'espérance mathématique est la moyenne théorique sur une infinité d'expériences.
6) Qu'est-ce qu'une statistique ?
Une statistique est un nombre calculé ou mesuré en fonction d'une moyenne de résultats.
7) Soient deux événements A et B. Quelle est la probabilité P(A et B) dans le cas général où A et B ne sont pas indépendants ? Dans le cas où ils le sont ?
Dans le cas où ils sont dépendants : p(A) * p(B) = p(A et B)
indépendants : p(B|A) * p(A) = p(A et B)
8) Exprimer (sin x)^3 en fonction de sin(x) et sin(3x) et en utilisant explicitement la formule du binôme de Newton.
Je suppose qu'il faut transformer (sin x)^3 sous la forme (x + y)^3 mais je ne vois pas du tout comment.
9) Deux événements indépendants peuvent ils être incompatibles ? A quelle condition ?
Définition de l'indépendance : p(A) * p(B) = p(A et B)
incompatibles : p(A et B) = 0
Donc ils peuvent l'être si p(A) =0 ou p(B) = 0
10) Une mesure a une incertitude delta. Quelle est la précision de la moyenne de n mesures ?
C'est sa variance.
11) Expliquer dans le détail mais sans faire le calcul la démarche à suivre pour calculer l'espérance du carré d'une variable aléatoire.
E[X²] = ??
12) Soit X une variable aléatoire continue. Exprimer la probabilité de l'événement {a < X < b}. On supposera ensuite que X prend des valeurs uniformément réparties sur l'intervalle [A,B]. Ré-exprimer cette probabilité en faisant clairement apparaître les paramètres du problème.
Sans connaître l'univers, cette question n'a aucun sens pour moi.
13) Deux chasseurs aperçoivent un lièvre et tirent (en même temps). Le premier a 3/4 chances de le tuer et le second 2/3. Quelle est la probabilité que le lièvre s'en sorte ?
Le lièvre a 1/4 d'échapper au premier et 1/3 au second, donc 1/3 * 1/4 = 1/12 de s'en sortir.
14) Une usine produit des boulons. Un lot comporte un million de boulons. L'usine s'engage à ce que la proportion de pièces défectueuses noté "p" soit de 1/1000 au maximum. Un ingénieur qualité veut vérifier ce chiffre, il prélève n = 1000 boulons afin de les tester. On appelle X la variable aléatoire discrète qui définit le nombre de boulons défectueux, avec X = Somme(Xi) ; i de 1 à n et Xi = 1 si le boulon est défectueux, 0 sinon. (Donc X varie entre 0 et 1000).
14a) Montrer que sous certaines conditions qu'il faudra préciser, X est une variable qui suit une loi binomiale. Donner l'expression de Cxn dans la loi binomiale.
Il s'agit d'une expérience de Bernoulli (échec ou réussite) renouvelée 1000 fois, donc elle suit la loi binomiale.
Cxn = x! / n! (x - n)!
14b) Montrer que l'espérance E(X) = np.
Somme(E(Xi)) de 1 à n = n(0*p(X=0) + 1*p(X=1)) = pn
14c) Combien de boulons défectueux s'attend-on à trouver lors du prélèvement ?
On devrait en trouver un seul.
Merci
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