nombres de Mersenne

[kaderben]

Bonjour
1°) a réel et n naturel non nul
Montrer que a^n -1 = (a-1)(a^(n-1) + a^(n-2) +a^(n-3) +...+a+1)
2°) a et n naturels supérieurs ou égaux à 2
Démontrer que si a^(n) - 1 est premier, alors a=2 et n est est premier

Reponses

1°) (a^(n-1) + a^(n-2) +a^(n-3) +...+a+1) somme des termes d'une suite géométriques de raison a et de premier terme 1
qui donne (1-a^n)/(1-a), a différent de 1
donc (a-1)(a^(n-1) + a^(n-2) +a^(n-3) +...+a+1)=(a-1)*(1-a^n)/(1-a) = a^n -1

a^n -1 = (a-1)(a^(n-1) + a^(n-2) +a^(n-3) +...+a+1) est montrée

2°) On remarque que si a=2 alors 2^n-1= (2^(n-1) + 2^(n-2) +2^(n-3) +...+2+1)

Puis je ne sais pas du tout ou' j'en suis et est ce qu'il faut démontrer que n est premier à partir de cette expression
de 2^n-1 ?

Merci pour vos commentaires
-----

[PlaneteF]

Bonsoir,

2°) On remarque que si a=2 alors 2^n-1= (2^(n-1) + 2^(n-2) +2^(n-3) +...+2+1)

Pour pouvoir utiliser le fait que , encore faut-il le démontrer (ce qui est immédiat à partir de l'égalité établie dans la question 1)

Ensuite tu peux faire un raisonnement par l'absurde en supposant que n'est pas premier, et donc dans ce cas s'écrit avec et entiers strictement supérieurs à .

Du coup . A partir de là tu calcules les premiers termes de la suite géométrique de raison pour arriver à une absurdité.

[PlaneteF]

A partir de là tu calcules les premiers termes de la suite géométrique de raison pour arriver à une absurdité.

Oups, il y a un mot qui manque : "A partir de là tu calcules la somme des premiers termes de la suite géométrique de raison pour arriver à une absurdité".

[Suite2]

Le but est de montrer que a^n-1 est premier implique a=2 et n est premier. (Je ne ferai aucun effort pour écrire en Latex )

Que sait-on des nombres premiers sur Z ? Déjà, ils sont irrédictibles. C'est-à-dire : on ne peut pas décomposer ce nombre premier comme produit d'entier. Suppose que a^n-1 est premier. On en déduit que a-1 est 1 ou bien que (a^(n-1) + a^(n-2) +a^(n-3) +...+a+1) = 1 (Les inversibles de Z qui sont dans N, il 'y en a qu'un et c'est 1..). Mais a^n-1=a-1 ne possède pas beaucoup de solutions sous nos hypothèses. Par suite a=2.

Maintenant le problème de primalité de n. Soit n = pq. Alors 2^pq-1=(2^p)^q-1^q. Utilises la formule que tu as montrée pour en déduire que 2^p-1=1donc p=1...


EDIT : J'ai rédigé trop lentement..

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

Vous me proposer de supposer n non premier
Si n non premier, n peut s'écrire n=pq, p, q entiers supérieurs à 1
Alors, 2^n - 1 = 2^(pq)-1=(2^p-1)[(2^p)^(q-1) + (2^p)^(q-2) +...+2^p+1]
2^(pq)-1 est factorisable par (2^p-1) qui est superieur à 1, donc 2^n-1 n'est pas premier d'ou' une contradiction.
Donc si 2^n-1 est premier alors n est premier

Finalement, si a^(n) - 1 est premier, alors a=2 et n est premier

J'ai d'autres questions à poser mais d'abord ce que je viens d'écrire est il correct ?

[Suite2]

Je ne propose pas de preuve par l'absurde regarde mieux ce que j'ai écris !

[PlaneteF]

(...) mais d'abord ce que je viens d'écrire est il correct ?

Oui c'est bon.

[kaderben]

Bonjour Suite2
Tu me proposes ceci:
2^(pq)-1 = (2^p-1)[ (2^p)^(q-1) + (2^p)^(q-2) +...+2^p+1] d'après la première question.

Si 2^(pq)-1 est premier alors 2^p-1= 1 ou (2^p)^(q-1) + (2^p)^(q-2) +...+2^p+1]=1
Si 2^p-1= 1 alors 2^p=2 donc p=1. Mais 1 n'est pas un nombre premier

Mais je ne vois pas ce que je peux conclure !

[PlaneteF]

(...) donc p=1. Mais 1 n'est pas un nombre premier

Mais je ne vois pas ce que je peux conclure !

Si alors , ce qui signifie donc que l'on ne peut pas décomposer autrement qu'en écrivant : , donc est premier.

[kaderben]

Merci pour la réponse. Une fois expliquée, c'est facile...

Je voulais revenir un peu en arrière.
Pour démontrer l'implication: si a^(n) - 1 est premier, alors a=2 et n est est premier
A part le a=2, on a bien utiliser sa contraposée, c'est à dire:
Si non(n est premier) alors non(2^(n) - 1 est premier) je l'écris comme ça pour avoir le modèle:
Si p alors Q et sa contraposée si non(Q) alors non(P)

Est ce correct ?

[gg0]

Bonsoir.

la contraposée de
" si a^(n) - 1 est premier, alors a=2 et n est est premier"
est
" si non(a=2 et n est est premier) alors a^(n) - 1 n'est pas premier"

et non(a=2 et n est est premier) peut s'écrire " ou n n'est pas premier.

Cordialement.

[kaderben]

Oui.
Au fait je pensais à la deuxième partie, la primalité de n.

J'aurai dû écrire:

on a utilisé la contraposée de:Si 2^(n) - 1 est premier, alors n est premier
qui est: Si non(n est premier) alors non(2^(n) - 1 est premier)

A moins que tout ça n'est pas correct !

[kaderben]

Bonjour

Voici la dernière question
On appelle nombre de Mersenne tout nombre de la forme 2^p-1 avec p premier
Calculer M2, M3,M5,M7,M11. Sont ils premiers ?

Les quatre premiers sont premiers mais M11 ne l'est pas. M11=2047=23*89

J'étais un peu surpris, je pensais que tous les nombres de la forme 2^p-1, p premier, sont premiers.
Mais l'implication Si 2^p - 1 est premier, alors p est premier, ne marche pas dans les deux sens. ça doit être une condition nécessaire et non suffisante. Justement j’en profite pour éclaircir ces conditions qu’on appelle : nécessaire et suffisante, nécessaire et non suffisante etc…
Je prends un exemple simple pour démarrer:
Exemple : Si p est impair, alors p s’écrit 2k+1, k dans Z
Cette implication marche dans les deux sens, c’est à dire sa réciproque est vraie.
C’est une condition nécessaire et suffisante ( si et seulement si)
p est impair <====> p s’écrit 2k+1, k dans Z

Mais laquelle nécessaire, laquelle suffisante ?

Personnellement, que je dise :
Il FAUT que p soit impair pour que p s’écrive 2k+1, et c’est une condition SUFFISANTE
ou que je dise : il est NECESSAIRE que p soit impair pour que p s’écrive 2k+1, et c’est une condition NECESSAIRE
pour moi c’est la même chose !

Et pourtant il faut dire une seule, mais comment savoir

Merci pour vos commentaires

[PlaneteF]

Bonsoir,

Je prends un exemple simple pour démarrer:
Exemple : Si p est impair, alors p s’écrit 2k+1, k dans Z
Cette implication marche dans les deux sens, c’est à dire sa réciproque est vraie.
C’est une condition nécessaire et suffisante ( si et seulement si)
p est impair <====> p s’écrit 2k+1, k dans Z

Mais laquelle nécessaire, laquelle suffisante ?

Personnellement, que je dise :
Il FAUT que p soit impair pour que p s’écrive 2k+1, et c’est une condition SUFFISANTE
ou que je dise : il est NECESSAIRE que p soit impair pour que p s’écrive 2k+1, et c’est une condition NECESSAIRE
pour moi c’est la même chose !

Et pourtant il faut dire une seule, mais comment savoir

Pas très limpide ton questionnement je trouve


D'une manière générale, lorsque l'on a : , cela veut dire que est une condition suffisante pour que l'on ait , et est une condition nécessaire pour que l'on ait .

Maintenant si l'on a : , cela veut dire que est une condition nécessaire et suffisante pour que l'on ait , et est une condition nécessaire et suffisante pour que l'on ait .

[PlaneteF]

Pas très limpide ton questionnement je trouve

A bah tiens, vlà que je parle comme Maître Yoda maintenant

[kaderben]

Tu as raison PlaneteF, J'ai rédigé n'importe comment mon message !
Maintenant pour notre implication:
Si 2^p - 1 est premier, alors p est premier

Si 2^p-1 est premier, c'est vrai, car on l'a choisi premier
On obtient bien P premier
Donc 2^p-1 est une condition suffisant pour que l'on ait p premier
Mais quand on choisit p premier, 2^p-1 n'est pas forcément premier (M11 n'est pas premier)
donc la condition si p est premier est nécessaire mais pas suffisante.
Je ne sais pas si j'ai bien rédigé.