Approximation d'un cosinus par série de Taylor

[Lepton]

Bonjour !

Je suis en terminale S, et en faisant mon curieux des mathématiques, je suis tombé sur l'égalité suivante (valable pour tout angle x) :



Pourtant, quand j'essaie par exemple pour des valeurs au hasard comme x=5 ou encore x=120, ça ne colle pas du tout.

Par exemple, pour x=120 je devrais trouver -0,5 car cos(120°)=-0,5.

Pourtant, à chaque fois que j'ajoute un terme, la série s'écarte de plus en plus vers les extrêmes ! Par exemple pour n=6 je trouve environ 1,84.10^16 puis pour n=7 je trouve -1,45.10^18 !

Où est mon erreur ? Ou alors, est-ce que ça va finir par converger vers -1/2 tout ça !?

Merci de vos réponses
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[martini_bird]

Salut,

la formule vaut pour x exprimé en radians.

Par ailleurs, compte tenu de tes résultats, es-tu sûr(e) de bien diviser par la factorielle de 2n ?

La série a une convergence très rapide : quelques termes suffisent pour obtenir une approximation correcte.

Cordialement.

[Lepton]

Merci beaucoup !

J'ai recommencé avec x=2π/3 radians et effectivement ça à marché dès les premiers termes !

Merci encore !

Mais alors pourquoi pour x=120 la série ne convergeait pas, idem pour x=5 ? Parce que ça aurait aussi bien pu être 120 radians que j'aurais pu prendre, ce qui correspond à une mesure principale d'à peu près 0,6192 rad [2π], et donc j'aurais du trouver un cosinus de 0,81 environ normalement !

Du coup, cette formule ne marche-t-elle que lorsque x est la détermination principale de l'angle en radian ?

[breukin]

La série converge pour toute valeur de x (x est un réel, il n'a pas de mesure en radians, ça ne veut rien dire, 120 vaut 120 et rien d'autre), mais pour des grandes valeurs de x, pour faire un calcul numérique qui tienne la route, il faut :
- un grand nombre de termes
- une grande précision

en effet, le terme à sommer passe par un maximum (en valeur absolue) qui prend de très grandes valeurs, puis finit enfin à tendre vers 0.
C'est la somme de très grands nombres alternativement positifs et négatifs (avant de tendre vers 0) qui fait qu'un final ça reste borné entre -1 et 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lepton]

Merci !

Donc c'est normal qu'en prenant x=120, je trouve pour les premiers termes des valeurs de plus en plus énormes (en valeur absolue) ?
Ça aurait tôt ou tard fini par converger en une valeur comprise entre -1 et 1 c'est bien ça ?

[breukin]

Oui, c'est bien ça.

[Lepton]

Très bien ! Tout s'éclaire

Merci encore.