Quand la méthode de Newton échoue ...

[Bleyblue]

Bonjour,

J'essaie d'appliquer la méthode de Newton à l'équation (ça n'a aucun intérêt mais c'est pour illustrer le fait que la méthode de Newton peut échouer ...)

f(x) = x^1/3

f'(x) =

donc : f/f' = -3x

-> X_{(n + 1)} = X_n - 3X_n = -2X_n

Je comprend que cela échoue étant donné que la fonction de départ n'admet que x = 0 pour racine et donc quel que soit X différent de zéro la formule ci dessus donnera quelque chose de non nul.

Mais si je ne connaissait pas l'équation de départ ? Je peux en déduire que, si je tombe sur :

-> X_{(n + 1)} = X_n - AX_n = (1 - A) X_n

la méthode échouera ? Pourquoi ?

Si c'est bien le cas alors il est facile de déterminer toute les fonctions qui satisfont à ce critère.

Il faut en fait que :

n réel

donc :



n réel

Donc la méthode de Newton échoue si on l'applique aux courbes Cxⁿ = 0 (C,n ) ?

(Bon d'accord il faut être un peu bête pour essayer d'appliquer Newton à ce genre d'équation mais bon, c'est quand même amusant d'avoir déterminer certaines équations pour lesquels ça échoue ...)

merci
-----

[Bleyblue]

-> X(n + 1) = Xn - AXn = (1 - A) Xn

la méthode échouera ? Pourquoi ?

Tout simplement parce que la suite de points ainsi définie ne converge vers rien du tout ?

Donc chaque fois que la suite diverge la méthode de Newton échoue ?
L'ennui c'est que, la suite étant définie par récurrence, ça n'est pas toujours évident de déterminer si elle converge ou si elle ne converge pas (bon dans ce cas ci oui mais pas toujours ...)

[matthias]

Ta fonction n'est même pas dérivable en 0 (la racine), pas très encourageant déjà.
Sinon fais une petite recherche sur la méthode de Newton, il y a des conditions qui assurent la convergence.

[Bleyblue]

D'accord je vais voir.

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Ta fonction n'est même pas dérivable en 0 (la racine), pas très encourageant déjà.
Sinon fais une petite recherche sur la méthode de Newton, il y a des conditions qui assurent la convergence.

Notamment, je crois que si la fonction est dérivable, de dérivée non nulle au point a tel que f(a)=0, alors il y a convergence de la méthode si on part d'un voisinage de la solution. En dimension >1, ça doit être quelque chose comme f'(a) inversible, non ?

__
rvz

[Bleyblue]

En dimension >1, ça doit être quelque chose comme f'(a) inversible, non ?

Avec mon exemple f'(a) est bien inversible mais la suite diverge ...

merci

[invite6b1e2c2e]

Enfin, ta fonction n'est pas dérivable en zéro, donc je ne suis pas satisfait par ce contre exemple
Notamment, on se sert de façon essentielle pour prouver la convergence d'un dl en zéro, méthode qui échoue certainement ici, puisque ce serait dérivable si l'on pouvait écrire un dl.

__
rvz

[matthias]

Notamment, je crois que si la fonction est dérivable, de dérivée non nulle au point a tel que f(a)=0, alors il y a convergence de la méthode si on part d'un voisinage de la solution.

Wikipedia propose des conditions différentes :

On peut prouver que, si f ' est continue et si le zéro inconnu α est isolé, alors il existe un voisinage de α tel que pour toutes les valeurs de départ x0 dans ce voisinage, la suite (xn) va converger vers α. De plus, si f '(α) ≠ 0, alors la convergence est quadratique, ce qui signifie intuitivement que le nombre de chiffres corrects est approximativement doublé à chaque étape.

Mais il me semble que pour pas s'embéter on prend souvent f 2 fois dérivable (voire C2), de dérivée non nulle.

En dimension >1, ça doit être quelque chose comme f'(a) inversible, non ?

Dans la version simple, il doit aussi y avoir une condition du genre f 2 fois différentiable.

[invite0f5c0a62]

oui c'est bien ça et différentiable 2 fois présente l'intérêt de savoir si f est convexe / concave ce qui permet de déterminer de quel côté de l'intervalle on démarre la suite, car un des côté diverge (faire des dessins pour comprendre) en gros on part de l'endroit où pente est plus forte soit :

sur un intervalle [a,b] ou f s'annule ("a" est donc a gauche < b à droite)
f est convexe (f" > 0) et croissante (f'>0) : on part de b
f est convexe et décroissante : on part de a
f est concave et croissante : on part de a
f est concave et décroissante : on part de b

c'est le seul moyen pour que la suite converge dans [a,b]
faites des dessins pour vous en rappeler (c'est pas très patheux mais ça marche)

[matthias]

c'est le seul moyen pour que la suite converge dans [a,b]

Non je ne pense pas. C'est une condition très forte, qui est pratique mais pas nécessaire.

[invite0f5c0a62]

heu oui exact c'est suffisant.