problème de trigonalisation

[Minialoe67]

Bonjour

J'ai la matrice A
-2,5,2
-1,4,2
2,-10,-5

J'ai montré que -1 est la seule valeur propre et que l'espace vectoriel associé à cette valeur propre est E_-1=R(2,0,1) + R(5,1,0). (je pense que c'est juste jusque là, non?)

Je pose u2=(2,0,1) et u3=(5,1,0)

On considère la matrice T
-1,0,0
1,-1,0
0,0,-1

Je dois montrer qu'il existe P tel que T=P^-1AP.

Ma méthode: je cherche u1 tel que A(u1)=-u1 +u2 <=> (A-I₃)u1 =u2
j'essaye de résoudre le système qui correspond et je me retrouve avec
-x + 5y + 2z =2
-x + 5y + 2z =0
2x - 10y - 4z =1
(les équations sont incompatibles! Comment trouver u1 alors? )

Je suis bloquée... Aidez moi merci
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[Seirios]

Bonjour,

Une petite erreur de signe ici :

Ma méthode: je cherche u1 tel que A(u1)=-u1 +u2 <=> (A+I₃)u1 =u2

[Jedoniuor]

Bonsoir,

Je crois que l'erreur repérée par Seirios est une simple faute de frappe, votre système me parait correct.
Vous n'avez pas assez analysé ce que l'on vous demande. Je note B=A+I, on vous demande de trouver une base v1,v2,v3 telle que Bv1=v2,Bv2=0,Bv3=0. Ce que vous avez manqué est que la première égalité vous dit que v2 doit \^etre dans l'image de B. Je vous laisse calculer B et voir que son image est de dimension 1, engendrée par le vecteur (1,1,-2). Ce vecteur est bien dans le noyau de B: avec vos notations il s'écrit u3-2u2. Vous devez donc prendre pour v2 un vecteur colinéaire à ce vecteur (prenez v2=(1,1,-2)). Vous trouverez v1 en cherchant un vecteur tel que Bv1=v2 (il y en a un très simple), et enfin pour v3, un vecteur dans le noyau de B, non colinéaire à v2=(1,1,-2).

Cordialement.

[Minialoe67]

Merci beaucoup!

je trouve
v2=(1,1,-2)
v1=(-1,0,0)
v3=(3,1,-1).

[A voir en vidéo sur Futura]