Independance de variables

[antberkik]

Bonjour, autodidacte en statistique, je me suis pose une question et j'aimerai m'assurer de la reponse...

D'une part, A, B et C etant trois evenements, ils sont totalement ou mutuellement independants si :
1- On a: P(AB)=P(A)*P(B)
et P(AC)=P(A)*P(C)
et P(CB)=P(C)*P(B)
2- On a aussi: P(ABC)=P(A)*P(B)*P(C)
Si seulement la premiere condition est realisee i.e. 1-, on dit que les evenements sont partiellements independants
Cette defintion se generalise a n evenements

D'autre part, Soit X,Y deux variables aléatoires discrètes. Nous disons que X, Y sont indépendantes si :
Pour tout x_i et y_j, P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)*P(Y=y_ j)

Ma remarque: deux variables etant independantes, alors les evenements elementaires A_i: X=x_i et B_j: Y=y_j ne sont pas totalement independants mais seulement partiellement independants. Ma remarque est elle fondee ou pas?? Merci bcp!!

Merci
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[gg0]

Pas tout à fait.

Comme tu ne compares que des couples d'événements (X_i=a,Y_j=b) la question de l'indépendance totale ne se pose pas. Et il n'est pas question de rajouter un événement, par exemple X_k=c, car il est incompatible avec X_i=a, ou confondu, donc à priori pas indépendant.

Cordialement.

[antberkik]

Si je comprend bien gg0,

le fait que les A_i: X=x_i soient des evenements elementaires alors leur intersection est nulle et donc ils ne peuvent pas etre independants...

Mais du moment que deux variables X et Y sont independantes alors l'evenement A₁ par exemple sera independant avec chaque B_j
De meme les evenements A₂ et B₁; A₂ et B₂; etc... i.e. A₂ et B_j seront independants
Donc pour chaque i, A_i est independant avec B_j quel que soit j...

La question d'independance totale ne se pose pas puique l'on travaille par couple A_i et B_j

[gg0]

Voilà !

C'est une notion d'indépendance 2 à deux, mais pas de tous les événements considérés.

Une remarque :
" leur intersection est nulle et donc ils ne peuvent pas être indépendants..." (leur intersection est vide). Si, ils peuvent être indépendants : Un événement A de probabilité nulle est indépendant de tout événement B (y compris lui-même), car P(A inter B) = 0 =P(A)P(B); idem si P(A)=1. Voila pourquoi j'avais écrit "à priori".

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[antberkik]

Merci bcp gg0!!! Grace a toi j'ai (je pense) bien assimile la notion!!