la continuité (le corps des nombres p-adiques)

[mathfou]

salut a tous

mon prof il ma dit Il y a des espaces non connexes sur lesquels la continuité ne se ramène pas à la continuité sur chaque composante connexe. Par exemple le corps des nombres p-adiques, dont la topologie est totalement discontinue.

svp aidez moi pour comprendre qu’es qu'il dit

Merci d'avance
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[Verdurin]

Bonsoir,
on peut prendre comme exemple l'ensemble des rationnels munie de la distance usuelle (valeur absolue de la différence).
Cet ensemble n'est pas connexe : l'ensemble C des rationnels dont le carré est inférieur à 2 est ouvert et fermé (car son complémentaire est ouvert).
Pourtant l'indicatrice de C n'est pas continue sur Q

[mathfou]

salut

Merci beaucoup pour l'aide maintenant j'ai compris l'idée mais reste le problème de cet exemple

le corps des nombres p-adiques, dont la topologie est totalement discontinue. comment faire pour comprendre cet exemple

c'est l'espace discontinue mais je veux étudier la continuité d'une fonction

[Tryss]

Muni de sa topologie "naturelle", le corps des nombres p-adiques est un espace métrique, avec la distance . Donc on étudie la continuité d'une fonction comme dans n'importe quel espace métrique. Par exemple si l'espace d'arrivée est aussi un espace métrique de distance , alors

La fonction est continue en si et seulement si

[A voir en vidéo sur Futura]

[mathfou]

Merci beaucoup Tryss maintenant c'est bon