Séries de fonctions/Séries entières

[invite032d76c3]

Re-Bonjour tout le monde.

je travail sur un exercice concernant les séries et plus particulièrement les séries entières. Voici l'exercice:


Question 1:
J'ai obtenu comme rayon de convergence . On peut alors dire que la série converge simplement sur l'intervalle ]-R;R[ soit

Jusque là tout va bien , et là c'est le drame...

Question 2:
On sait que
D'où ma question, peut on dire que la série converge vers la valeur et si cela justifie la convergence normale sur .
De plus, afin de répondre à la question 2, comment justifier que l'on ne converge pas normalement sur tout l’intervalle de R?

Question 3 et 4:
Je ne les ai pas encore traité mais si vous avez des indications je suis preneur

Merci à tous,
Cactuss
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[topmath]

Bonjour faut d'abord montrer s'il s’agit d'une Série entière ou non , puits passer au calcule du R rayon de convergence si cette dernière s’avère entière .

[invite032d76c3]

Oui oui a je l'ai déjà fais.

je bloque à la question 2 maintenant.

[inviteea028771]

Question 2:
On sait que
D'où ma question, peut on dire que la série converge vers la valeur et si cela justifie la convergence normale sur .
De plus, afin de répondre à la question 2, comment justifier que l'on ne converge pas normalement sur tout l’intervalle de R?

Non, ça ne justifie pas la convergence normale. Pour rappel, on dit que la série converge normalement sur I si

et converge

C'est à dire que l'on peut majorer chaque terme de la somme par un réel indépendant de x, tel que la somme des est convergente.

Le plus simple pour montrer ici la non convergence normale sur R, c'est de remarquer que les ne sont pas bornées sur R, donc il n'est pas possible que la série soit normalement convergente (la suite n'existe pas)


Par contre sur [-A,A], on a la majoration , ce qui permet de conclure assez directement à la convergence normale.

Et cette méthode permet aussi de répondre à la question 3)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite032d76c3]

Merci beaucoup pour tes explications Tryss.

Pour conclure sur la question 2 il faut alors que je dise:
La série des sup de fn converge normalement si tout |fn| sont majorables,
c'est à dire que pour [-A;A], on a la majoration suivante: ,

On a donc tends vers e^A quand n tend vers .

Et donc que la série CVN sur [-A;A].