Théorème fondamental du calcul integral

[invite5e148d1e]

Il est facile de prouver le théorème fondamental du calcul intégral pour toute fonction f(x) croissante. Mais je ne trouve pas une bonne démonstration pour toute fonction f(x) continue. Je penses a le prouver pour f(x) décroissante puis pour tout f(x) en découpant l’intégrale en morceaux selon la croissance de la fonction puis utiliser la relation de Chasles pour réunir les morceaux et obtenir le résultat pour tout f(x)
Que pensez vous de cette méthode? et si quelqu'un a une démonstration a me proposer je serais tres reconnaissant!
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[Seirios]

Bonjour,

L'inconvénient avec cette méthode, c'est qu'elle va nécessité une régularité plus forte sur f : il existe des fonctions continues qui ne sont monotones sur aucun intervalle.

[taladris]

Salut,

il y a plusieurs versions du theoreme fondamental du calculus. Je suppose que tu cherches a montrer "Soit une fonction continue sur l'interval . Alors la fonction definie par est continue sur , differentiable sur et F'(x)=f(x)".

La preuve n'est pas tres complique et repose quasi exclusivement sur la definition de la continuite et le fait qu'une fonction continue sur un interval y est bornee. Il faut ensuite estimer les quantites et quand
est proche de . Je prouve directement la differentiabilite (la continuite est plus simple - c'est un bon exercice):

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On fixe dans et .

La fonction etant continue sur , il existe tel que, si , alors .


Alors . Alors cette quantite est inferieure a . Donc est differentiable au point et

Note que si est seulement integrable, alors est toujours continue (la preuve est plus compliquee et necessite de regarder en detail les suites de Riemann). Par contre, elle n'est plus differentiable en general. Par exemple, considere definie par si et sinon. Ou, si est differentiable, ce n'est plus une primitive de . Par exmple, considere definie par et sinon.

Cordialement