Produit Vectoriel sur R^n Démonstration

[Jokmail]

Bonjour à tous,

J'ai récemment trouvé un pdf que vous trouverez ici fournissant une démonstration du fait que le produit vectoriel ne peut exister dans uniquement si .
A la fin du texte (lors de la démonstration du théorème 1), l'auteur affirme que le Lemme 3 (voir le texte) permet de dire que l'on peut définir un produit vectoriel (ayant toutes les propriétés qu'on lui connait pour ) uniquement si mais je ne vois pas pourquoi.

Avez-vous une idée?
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[Mocassins]

Bonjour.

Je n'ai pas tout lu, je pense voir compris en gros la démarche.

Il exhibe des propriétés que doivent avoir le cross product pour être considéré comme un cross product, en s'inspirant de celles qu'il a dans .

Il construit par récurrence une suite de familles de vecteurs à partir d'un cross product supposé (dont on suppose qu'il possède les propriété attendues) de , où pour l'instant n'est pas précisé et peut a priori prendre n'importe quelle valeur.
Il montre que les termes de la suite permettent si ce sont des bases de (ce qui est possible car ce sont déjà des familles orthogonales) de définir une table de calcul du cross product utilisé qui va pouvoir en un certain sens être explicité. Comme c'est une forme bilinéaire, on peut la déterminer entièrement en donnant les où .
L'auteur explique qu'il a construit un cross product sur si est le cardinal d'un or ce dernier est , d'où la conclusion.

Il s'arrête à car pour , il remarque que son cross product ne vérifie pas certaines propriétés qu'il avait exigées.

En fait, rien n'empêche de considérer que le cross product puisse être déterminé par les pour dans une base quelconque. En tout cas je ne crois pas que l'auteur ait justifié ça; il montre seulement que si on est dans on peut se débrouiller.

Sinon, le produit vectoriel peut être défini sur tout espace euclidien de base comme l'unique vecteur noté tel que .
C'est en général une application -linéaire: .

[Jokmail]

Merci de votre réponse.

C'est le produit extérieur que vous notez ?

[Mocassins]

Ah non c'est une notation-définition pour le produit vectoriel (noté dans le document mais je pense qu'on peut distinguer ce qu'il veut créer, le cross product, du produit vectoriel dans la mesure où ils ne coïncident que sur ).

Cela dit, on peut définir un produit extérieur sur vecteurs en calculant le dual du produit extérieur du dual si je me souviens bien, et je crois qu'il y a un lien avec le produit vectoriel. Mais je n'y connais rien, mieux vaut se renseigner ailleurs.

[A voir en vidéo sur Futura]