Problème pour montrer qu'un espace est séparé

[PetiteAnne]

Bonsoir,

J'aimerais savoir si quelqu'un pouvait m'apporter son aide pour m'aider à résoudre le problème suivant ? Je coince hélas depuis un certain temps déjà ...

Considérons Y un espace séparé normal. On considère le sous-espace ={(y,y)|y appartenant à Y} de YxY et l'espace quotient (YxY)/.
Il faut démontrer que cet espace quotient est séparé. Une idée ?

Moi ce que je suis arrivée à démontrer c'est Y est séparé si et seulement si est fermé dans YxY mais en fait, je ne crois pas que cela serve ici ...

Donc, je suppose qu'il faut partir de la définition de séparé et l'appliquer à l'espace quotient, ce qui donne :
l'espace est séparé si pour tout couple de points x,y il existe des ouverts et tels que x appartient à et y appartient à et que l'intersection inter = l'ensemble vide.
Je suppose qu'il faut aussi se servir du fait que Y est normal c'est-à-dire : Y est normal si pour tout couple de fermés disjoints A,B, il existe des ouverts , tels que A est inclus dans et B est inclus dans et l'intersection inter = l'ensemble vide. Mais comment le faire à bon escient ?
Par ailleurs, je sais que dans un espace normal, si un fermé F est inclus dans un ouvert O alors il existe un ouvert U avec F inclus dans U inclus dans U("barre au-dessus pour dire U fermé") inclus dans O.

Malgré cela je ne vois pas comment faire la démonstration demandée en entier correctement

Quelqu'un pourrait-il m'aider ? C'est important.
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[Seirios]

Bonsoir,

À quoi correspond ton quotient ?

[PetiteAnne]

Bonsoir,

À quoi correspond ton quotient ?

En fait, Y est un espace topologique (i.e. un espace muni d'une topologie) et YxY est le produit des espaces topologiques.
Pour (YxY)/, il s'agit de l'espace quotient, lequel je dois démontrer qu'il est un espace séparé. Vous avez une idée de comment on pourrait faire ?

[Seirios]

Ce que je voulais dire, c'est qu'il n'y a pas de notion générale de quotient d'espaces topologiques, on ne fait que quotienter par rapport à une relation d'équivalence. Quelle est ta relation ici ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bonnie_-]

Dans l'énoncé apparemment, on considère le sous-espace ={(y,y)|y appartenant à Y} de YxY et l'espace quotient (YxY)/.

Je suppose que la relation d'équivalence, c'est juste défini comme ci-dessus. Il me semble qu'on peut appeler le sous-espace une diagonale, mais à part ça, je ne vois pas. Ca m'ennuie de ne pas savoir vous en dire plus, désolée ... Je ne vois pas comment aider.

[Tryss]

Sauf que n'est pas une relation d'équivalence.

Ce quotient peut avoir un sens clair par exemple si Y est un espace vectoriel ou un groupe ( alors (y,y')~(x,x') si (x-y,x'-y') ), mais je ne vois pas non plus trop ce que ça pourrait être dans le cadre d'un espace topologique quelconque

[Hamb]

Je pense qu'ici il faut voir ce quotient comme le quotient par la relation x ~ y ssi (x et y sont dans delta), et utiliser le fait que la diagonale est fermée dans YxY (séparation de Y)

[Tryss]

Je pense qu'ici il faut voir ce quotient comme le quotient par la relation x ~ y ssi (x et y sont dans delta), et utiliser le fait que la diagonale est fermée dans YxY (séparation de Y)

Ce que tu propose n'est pas une relation d'équivalence :

Si je prend a différent de b dans Y, alors (a,b) n'est pas en relation avec lui même, puisque pas dans delta, donc on n'a pas la reflexivité

[Hamb]

Oui effectivement, je me suis mal exprimé et ça ne marche pas tel que je l'ai dit. Je rectifie en définissant la relation d'équivalence par la partition en classes d'équivalence : une classe composée des points de delta, et une classe réduite à un singleton pour chaque point qui n'est pas dans delta. L'espace quotient est l'espace obtenu en «collant» entre eux les points de delta.

edit : donc x~y ssi ((x et y sont dans delta) ou x = y)

[taladris]

L'espace en question est probablement un espace d'identification:

si X est un espace topologique et A une partie de X, X/A est l'espace quotient pour la relation (on identifie entre eux les points de A).

(la relation est seulement transitive et symétrique. Il faut comprendre la phrase precedente comme "la relation d'equivalence engendree par". L'abus precedent est frequent.)

Par exemple, si X=D est le disque ferme et A=S^1 son bord (un cercle), alors X/A est une sphere de dimension 2.

Cordialement

Edit: je n'avais pas vu le message de Hamb. Desole pour le doublon...