Tentative de résolution de la conjoncture de Goldbach

[Xury]

J'ai rien d'autre à faire en fin de soirée [et pour le fun] donc donc je vais tenter d'imaginer une méthode de résolution de cette conjoncture :
Je verrais bien une façon de faire comme celle-ci :

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Conjecture de Goldbach : « Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers ».

Soit p un entier naturel pair quelconque et x un entier naturel quelconque.
Tout entier naturel pair est égal au produit d’un entier naturel avec 2. Donc à la somme de deux fois ce nombre


Or la moitié d’une somme de deux nombres est une moyenne.

Donc dire que tout entier naturel pair est la somme de deux nombres premier revient à dire que tout entier naturel correspond à la moyenne de deux nombres premiers.

Les entiers naturels appartiennent à l’intervalle [0, +∞[
On sait que 0 est un nombre premier, qu’il existe une infinité de nombres premiers et que tout entier naturel est le multiple d’u nombre premier.

Donc tout entier naturel est compris entre deux nombres premiers et afin comme tous entiers naturels sont des multiples de nombres premiers, les nombres premiers sont répartie afin que tous les entiers naturels puissent être obtenu en les multipliant, ils sont donc suffisamment bien réparties pour que les moyennes d’un nombre premier et des nombres premiers inférieurs à lui puissent donner tous les entiers naturels inférieurs au plus grand des deux nombres premiers.
Il y aura donc toujours au moins un couple de nombres premiers dont la moyenne est égale à un entier naturel donné.

Vous en pensez quoi ?
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[topmath]

Bonsoir moi aussi je n'est rien à faire ce soir que de trouvez ce lien très utile .

Cordialement;

[Tryss]

ils sont donc suffisamment bien réparties pour que les moyennes d’un nombre premier et des nombres premiers inférieurs à lui puissent donner tous les entiers naturels inférieurs au plus grand des deux nombres premiers.

C'est clairement faux : Avec 11 je ne peux pas obtenir une moyenne de 10 avec un autre nombre premier, car 10 = (11+9)/2, et 9 n'est pas un nombre premier.

Pour que ça soit vrai, il faudrait que tout les nombres impairs soient premiers, ce qui n'est clairement pas le cas

[Hamb]

Bonjour,

Tu ne précises pas dans ton message si ce que tu dis est censé représenter une preuve de cette conjecture ou bien seulement une idée présentée de façon non rigoureuse et à explorer.

Si tu espères fournir une preuve, j'ai bien peur que cela ne remplisse pas les standards modernes de rigueur mathématique, sans même parlé de validité du raisonnement. Si ton message se veut une discussion informelle, je vois (au moins) deux problèmes :

« on sait que zéro est un nombre premier »

Ceci est faux, un nombre premier est par définition un entier supérieur ou égal à deux, divisible uniquement par 1 et par lui-même. Zéro ne vérifie aucune de ces deux conditions.

« ils sont donc suffisamment bien répartis pour que les moyennes d'un nombre premier et des nombres premiers inférieurs à lui puissent donner tous les entiers naturels inférieurs au plus grand des deux nombres premier. »

Premièrement j'ai l'impression que cela ne veut pas dire grand chose, j'imagine qu'il faut lire « ils sont donc suffisamment bien répartis pour que les moyennes d'un nombre premier et des nombres premiers inférieurs à puissent donner tous les entiers naturels inférieurs à . »
Auquel cas cette assertion est fausse, par exemple pour , 10 est un entier naturel inférieur à , mais 10 n'est pas la moyenne de 11 et d'un nombre premier inférieur à 11.


edit : grillé

[A voir en vidéo sur Futura]

[Xury]

Seulement une idée présentée de façon non rigoureuse et à explorer bien sur, je ne prétant pas révolutionner les mathématiques à 22h un samedi.

[Xury]

@topmath
Merci, je me suis peut-être trompé de section mais il ne s'agit aucunement d'un résultat, seulement une idée que je me fait de la façon dont le problème pourrait être résolu.

@Tryss
Voir Message pour Hamb

@Hamb
Comme dit précédemment, il s'agit seulement la façon dont je conçois une des manières dont le problème pourrait être résolu.
Merci à toi et à Tryss de me l'avoir fait remarquer, en effet, cette assertion est fausse, mais mon idée marche tout de même car :
10 = (13+7)/2

Merci aussi pour m'avoir rappeler que 0 n'était pas premier.

[Hamb]

ok, dans ce cas ton assertion était mal exprimée, en fait ton assertion peut se résumer à « la conjecture de goldbach est vraie ». Le problème est que ton raisonnement n'apporte pas grand chose. En effet de ce que je comprends, on pourrait résumer tout ton texte par : « les nombres premiers sont bien répartis, donc la conjecture de goldbach doit être vraie ». Effectivement, c'est un bon argument pour étayer le fait que la conjecture est peut-être vraie (et c'est probablement ce genre d'argument qui a mené à la conjecture), mais cela n'apporte pas d'idées nouvelles quant à une possible démonstration.

[Tryss]

ok, dans ce cas ton assertion était mal exprimée, en fait ton assertion peut se résumer à « la conjecture de goldbach est vraie ». Le problème est que ton raisonnement n'apporte pas grand chose. En effet de ce que je comprends, on pourrait résumer tout ton texte par : « les nombres premiers sont bien répartis, donc la conjecture de goldbach doit être vraie ». Effectivement, c'est un bon argument pour étayer le fait que la conjecture est peut-être vraie (et c'est probablement ce genre d'argument qui a mené à la conjecture), mais cela n'apporte pas d'idées nouvelles quant à une possible démonstration.

D'ailleurs il a été montré (me semble t'il) que la plupart des entiers pairs vérifiaient la conjecture...

Mais il y a peut être quelques exceptions, qui sait?


Il y a une littérature assez immense sur ce genre de questions, avec des approches et des techniques assez différentes, et ça me parait assez illusoire de se lancer là dedans sans avoir une petite idée des pistes qui ont déjà été explorées.

Car pour savoir si quelque chose est nouveau, il faut encore avoir une idée de ce qui s'est déjà fait (particulièrement sur des questions aussi largement travaillées).


Une possible démonstration récente sur la conjecture de Goldbach faible (tout nombre impair > 7 est la somme de 3 premiers impairs):
http://fr.arxiv.org/abs/1305.2897v2

[Hamb]

Effectivement il y a beaucoup de résultats faibles dans le sens de la conjecture de Goldbach qui ont été prouvés, et la littérature sur le sujet est fournie.

Par ailleurs, pour continuer dans la veine de la discussion informelle, il existe des raisonnements heuristiques qui mettent en évidence une conjecture plus précise avec un équivalent du nombre de façon de représenter un entier pair sous la forme d'une somme de deux nombres premiers (cf. la page wikipedia à props de la conjecture). Ces raisonnements heuristiques, même s'ils ne prouvent rien sont déjà passionnants en eux-mêmes !

[Xury]

Je vais essayer de corriger les erreurs que tu m'a fait remarquer, c'est peut-être illusoire mais je ne me fait pas d'illusions, je ne fait qu'imaginer des façons de le résoudre.
D'ailleurs je vais corriger le problème du 0 et de l'assertion : j'en suis à là :

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Donc tout entier naturel supérieur à 2 est inclus dans un intervalle de deux nombres premiers P1 et P2 tels que P1 ≥ P2 ≥2.

Soit Sp l’ensemble des nombres premiers :

∀x ∈ N, ∃P1 ∈ Sp, ∃P2 ∈ Sp, x=(P1+P2)/2
<=>x∈[P2,P1] et |x - P2| = |x - P1|

Une moyenne de deux nombres est équidistante de ces deux nombres.
Donc pour que tous les entiers naturels, il existerait deux nombres premiers équidistants à celui ci si la conjecture de Goldbach est juste.

Demain je verrais s'il il y a un moyen de prouver cela si je n'ai pas fait d'erreur dans mon raisonnement : en effet je ne garantis plus de sa véracité passé minuit.

[albanxiii]

Bonjour,

Vous en pensez quoi ?

Que vous êtes surement plus fort que les centaines (ou plus) de mathématiciens professionnels et talentueux qui s'y sont cassés les dents....
Ou alors vous êtes simplement prétentieux / inconscient / innocent, au choix.

Pouvez-vous nous faire un résumé des tentatives d'approches qui ont échoué jusqu'ici ? Ca ne devrait pas vous poser de problème, puisque si vous proposez une nouvelle approche c'est que vous connaissez les anciennes....

@+

[Xury]

Je n'est jamais prétendu trouver une façon de résoudre le problème et encore moins de trouver la solution, à nouveau, je n'est fait que donner la façon dont je verrais une possible méthode de résolution.

[gg0]

Une opinion de quelqu'un qui n'y connaît rien ? Bof !!

Donc pas besoin de choisir, les trois adjectifs conviennent ....

[koroso]

Bonsoir je ne suis que novice en mathématique. Peut on me dire si cela parait correct. A l'exception de 2 tout nombre premier est un nombre impaire. Donc sauf pour la valeur 4 = 2+2 j'ai pensé à :
soit p et q deux nombre premier.
alors p = 2n+1 et q = 2n'+1 avec n et n' entier.
donc p+q = 2n+1 + 2n'+1 = 2*(n+n'+1) donc un entier pair...autrement dit la somme de deux nombre impair est un nombre pair.

[topmath]

Bonsoir et bien venue sur Futura-Sciences

Bonsoir je ne suis que novice en mathématique. Peut on me dire si cela parait correct. A l'exception de 2 tout nombre premier est un nombre impaire. Donc sauf pour la valeur 4 = 2+2 j'ai pensé à :

Pour définir un nombre premier voir ce ci définition .

Cordialement ;

[taladris]

soit p et q deux nombre premier.
alors p = 2n+1 et q = 2n'+1 avec n et n' entier.
donc p+q = 2n+1 + 2n'+1 = 2*(n+n'+1) donc un entier pair...autrement dit la somme de deux nombre impair est un nombre pair.

Cela est correct, la somme de deux nombres premiers est paire. Pour l'instant, personne ne sait si le contraire (tout entier pair plus grand que 2 se decompose en une somme de deux nombres premiers) est vrai ou faux: c'est la conjecture de Goldbach.

[koroso]

Merci pour ce complément d'information. J'avais compris que les nombres premiers ne sont divisibles que par 1 et par eux même ! Ils ne peuvent donc pas être pair (à l'excéption de 2) sinon il serait au moins divisible par 2 d'ou mon raisonnement. Donc pour la conjecture de Goldbach si on exclue 4 qui est la somme de 2 et 2 je ne comprend pas en quoi mon raisonnement est faux! C'est un cas particulier de la somme de deux nombres impairs.
Cordialement

[koroso]

J'ai répondu sans voir le dernier message ! Ok je comprends mieux C'est effectivement plus compliqué de prouver que tout nombre entier pair est la somme de deux nombre premier! Merci