Suite, raisonnement par récurrence

[bobo22]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour un exercice sur le raisonnement par récurrence:

On considère la suite t(n) définie pour tout entier naturel n par t0=0et t(n+1)=t(n)+1/(n+1)(n+2)
Montrer que t(n)=n/(n+1)

Donc je fait un raisonnement par récurrence:

Nommons P(n) l'égalité "n/n+1)"

Initialisation
P(0)= 0/(0+1)=0/1 (je ne pense pas que ça soit ça mais je bloque dès l'initialisation)

Merci d'avance pour votre aide
-----

[PlaneteF]

Bonjour,

Nommons P(n) l'égalité "n/n+1)"

Attention, doit être une proposition c'est-à-dire un énoncé soit vrai soit faux selon les conditions.

Or n'est pas une proposition, c'est un réel.


Cordialement

[toothpick-charlie]

généralement on ne prend pas la peine de nommer la proposition en question.

[bobo22]

Qu'appelez vous la proposition ?

Nommons P(n) l'égalité "t(n)=n/(n+1)"

Initialisation
t(0)=0 et t0=0/(0+1)=0
P(0) est vrai, P(n) est initialisé

Par contre pour l'hérédité je bloque complètement :s..

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Par contre pour l'hérédité je bloque complètement :s..

Tu supposes que (hypothèse de récurrence) et tu dois montrer que

[bobo22]

Hérédité:

Supposons P(0) vrai a-t-on P(n)=n/(n+1)
Supposons P(k) vrai a-t-on P(k+1) vrai?
[je suis un peu perdu dans les supposons...]

[PlaneteF]

Hérédité:

Supposons P(0) vrai a-t-on P(n)=n/(n+1)
Supposons P(k) vrai a-t-on P(k+1) vrai?
[je suis un peu perdu dans les supposons...]

Des "supposons" il n'y en a pas 15000, il y a juste celui que je t'ai indiqué (tu peux mettre des à la place des si tu veux).

Maintenant vas-y, entame le calcul :

Par définition on a : ... et dans cette expression de , remplace par son expression donnée par l'hypothèse de récurrence.

[bobo22]

Pour l'initialisation c'est bien "supposons que tn=n/(n+1) vrai a-t-on tn+1=tn+(1/(n+1)(n+2)) ?
(au passage, tk+1 c'est bien pareil que tn+1 ?)

[gg0]

L'initialisation est la vérification que la propriété est vraie au début, pour la (les) valeur(s) initiale(s).

[bobo22]

je me suis trompé je voulais dire l'hérédité*
j'ai fait
tn+1=n/(n+1) + 1/(n+1)(n+2)
tn+1= n(n+2)/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)n+2)
tn+1=(n²+2n+1)/(n²+3n+2)

Par contre pour simplifier je ne sais pas trop comment faire

[PlaneteF]

Pour l'initialisation

L'initialisation c'est la vérification de . Ca tu l'as déjà fait !

a-t-on tn+1=tn+(1/(n+1)(n+2)) ?

Tu mélanges tout ... Tu n'as pas à te poser cette question puisque cette relation est donnée par l'énoncé donc vraie par définition !!

Pour l'hérédité, je te l'ai déjà indiqué dans le message#5

[PlaneteF]

tn+1=(n²+2n+1)/(n²+3n+2)

Ah ce réflexe de vouloir systématiquement tout développer !!

Laisse le dénominateur tranquille, il ne t'a rien fait, il était très bien comme il était !

Factorise le numérateur.

[PlaneteF]

Ah ce réflexe de vouloir systématiquement tout développer !!

C'est pas toi gg0 qui parlait hier dans une autre discussion de "cette peur générationnelle de la factorisation" ?!!

[bobo22]

Je ne comprend plus rien alors que je croyais avoir terminé :'(
pour simplifier à la fin j'aurais: éliminé les n² , enlever 2n au numérateur et dénominateur et enlever 1 au numérateur et dénominateur, il resterais donc n/(n+1)

[bobo22]

DACCORD mon message précédent est faux par contre à partir d'où dois-je factoriser ?

[PlaneteF]

(...) à partir d'où dois-je factoriser ?

Factorise le numérateur.