f o f

[ansset]

mais l'expression pas de solution sous entend probablement : pas de solution analytique.
-----

[Tryss]

c'est marqué "par exemple l'équation g(g(z))=z^2-2 n'a pas de solution"

Attention, il est dit que cette équation n'a pas de solution dans F(C,C) (l'ensemble des fonctions de C dans C). Rien n'est dit pour le cas réel !

Le théorème qui est cité, est que les fonctions de C dans C de la forme f(z) = az²+bz+c n'ont pas de racine carrée fonctionnelle si a est non nul. Mais ça n'est pas vrai pour les fonctions de R dans R !

Contre exemple : une solution de g(g(x))=x² est

[ansset]

Attention, il est dit que cette équation n'a pas de solution dans F(C,C) (l'ensemble des fonctions de C dans C). Rien n'est dit pour le cas réel !

Le théorème qui est cité, est que les fonctions de C dans C de la forme f(z) = az²+bz+c n'ont pas de racine carrée fonctionnelle si a est non nul. Mais ça n'est pas vrai pour les fonctions de R dans R !

Contre exemple : une solution de g(g(x))=x² est

ça change tout !
il y a longtemps ( en fait depuis le début ) qu'on ne cherche pas de "polynome". et qu'effectivement f°f(x)=x² ne pose aucun soucis.
bon, alors j'y retourne ! comme le veut ma signature
mais pas ce soir
cordialement Tryss

[Tryss]

ça change tout !
il y a longtemps ( en fait depuis le début ) qu'on ne cherche pas de "polynome". et qu'effectivement f°f(x)=x² ne pose aucun soucis.
bon, alors j'y retourne ! comme le veut ma signature
mais pas ce soir
cordialement Tryss

Attention, mon f c'est gog, je reprends les notations du pdf (g est alors la racine fonctionnelle de f). Ce qui est dit c'est que :
g(g(x)) = x² a une solution dans l'ensemble des fonctions de R dans R
g(g(z)) = z² n'a pas de solution dans l'ensemble des fonctions de C dans C

[mickan]

Bonjour,

soit -z' l'unique point négatif tel que f(x)=0
si f(0)<-z' alors f(f(0))>0 (f est décroissante sur ]-00;0]
or f(f(0))=-2 absurde
donc f(0)>=-z'
on peut montrer que 1<z'<2.
donc f(0)>-2

notons l'existence de a tel que f(a)=-2 ( par exemple a=f(0) )
or pour tout x, f(x)>=f(0) donc -2>=f(0)

Il n'y a pas de solution continue

[lawliet yagami]

Attention, il est dit que cette équation n'a pas de solution dans F(C,C) (l'ensemble des fonctions de C dans C). Rien n'est dit pour le cas réel !

Ah ok

Même si j'ai du mal à comprendre comment c'est possible vu que R est inclus dans C

[ansset]

c'était juste un mess qui rapellait la fct approximative que j'avais obtenu
bref : mes premiers latex !!

ceci dit, j'ai du mal à croire à l'inexistance d'une solution. ( au moins )
je ne parle pas ds R , mais au moins dans [rac(2),+oo[, c-a-d quand f°f(x)>=x

cette fct est déjà pas mal, et j'ai fait une sorte de DL d'ordre 1

[Tryss]

Ah ok

Même si j'ai du mal à comprendre comment c'est possible vu que R est inclus dans C

Justement, ici, plus l'ensemble de définition de la fonction est petit, plus il y a de solutions potentielles :

l'équation fonctionnelle exp(f(x)) = x n'a pas de solution dans l'ensemble des fonctions de R dans R, mais en a dans l'ensemble des fonctions de ]0,+oo[ dans R

D'une certaine façon, en augmentant la taille du domaine, on augmente le nombre de contraintes (il faut que la propriété soit vraie a plus d'endroits)

ceci dit, j'ai du mal à croire à l'inexistance d'une solution. ( au moins )
je ne parle pas ds R , mais au moins dans [rac(2),+oo[, c-a-d quand f°f(x)>=x

Plutôt sur [2,+oo[ mais effectivement, il est possible qu'il existe une solution sur cet ensemble de définition. Je pense même intuitivement qu'il en existe une strictement croissante et continue (mais je ne vois pas du tout comment m'y prendre)

[lawliet yagami]

Justement, ici, plus l'ensemble de définition de la fonction est petit, plus il y a de solutions potentielles :

l'équation fonctionnelle exp(f(x)) = x n'a pas de solution dans l'ensemble des fonctions de R dans R, mais en a dans l'ensemble des fonctions de ]0,+oo[ dans R

D'une certaine façon, en augmentant la taille du domaine, on augmente le nombre de contraintes (il faut que la propriété soit vraie a plus d'endroits)

Je vois en fait ma compréhension de "ensemble de fonction de K dans K" était erroné.
Merci

[ansset]

oui tryss, j'ai bien voulu ecrire 2, ce que j'avais fait déjà ds un post précedent.
d'ailleurs, ma phrase était contradictoire puisque je dis bien dès que f°f(x) >=x , soit x=2

bon, je sens qu'il va falloir que je plonge dans l'équa diff de a(x) avec
f(x)=x^rac(2) * ( 1+a(x))

pour le résultat précedent , j'ai bien rogné a(x).
et pourtant la fct converge très vite ( f°f converge vite vers x²-2 )

[leo11]

Salut à tous !
Je pourrai obtenir la solution du problème dès demain normalement ! Pour l'énoncé, il faudra attendre jusqu'à mercredi, mais je pense que je pourrai aussi l'obtenir.

Bonne recherche à vous.

[Tryss]

Sinon, pour montrer l'importance du domaine dans lequel on cherche les solutions, voici une approche sympathique :

définie par g(0) = g(2) = 2 et g(1) = g(3) = 3

Alors, on a bien :
g(g(0)) = g(2) = 0²-2 = 2
g(g(1)) = g(3) = 1²-2 = 3
g(g(2)) = g(2) = 2²-2 = 2
g(g(3)) = g(3) = 3²-2 = 3


Il y a deux solutions si on prend les fonctions de Z/2Z
Il n'y a aucune solution si on prend les fonctions de Z/3Z
Il y a quatre solutions si on prend les fonctions de Z/4Z
Il n'y a aucune solution non plus si on prend les fonctions de Z/5Z
Il y a trois solutions si on prend les fonctions de Z/6Z

Et je fais m’arrêter là, car je n'ai pas trouvé de méthode générale

[ansset]

je rapelle qu'elie nous a promis LA solution pour aujourd'hui.
"Cochon qui s'en dedit"
cordialement à tous !